Seja f(x, y) = 2x - y e seja A o conjunto determinado pelas condições x >= 0, y >=  0, x + y <= 3ey >= x. Estude f com relação a máximo e mínimo em A.

Professor Eduardo A.

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Respondeu há 9 anos

Olá, Luci. Temos y >= x e y <= 3 - x, além de x>= 0 e y>= 0. Essa é a região no Primeiro Quadrante delimitada pelas retas y = x e y = 3-x e também por x = 0 (eixo y). É uma região triangular.
Para estudar os pontos de máximo ou mínimo de F(x.y) = 2x-y em A, devemos procu rar pontos críticos interiores a A e também nos limites de A. Como a derivada de F em relaçao a x é 2, e derivada de F em relação a y é -1, não temos pontos onde as derivadas parciais são nulas, e portanto nao temos pontos críticos interiores ao conjunto A. devemos então procuras nos limites de A. Podemos começar procurando valores máximos de A na reta x = 0, lembrando que y varia de 0 até 3. (Sugiro que esboce as retas para facilitar a visualização). F(x = 0, y) = -y. -y terá valor máximo quando y = 0,, F(0,0) = 0 e valor mínimo quando y = 3, F(0,3) = -3,. Agora devemos estudar o comportamento de F na reta y = x. Lembrando que usaremos apenas o seguimento de reta que vai da origem até o ponto de encontro entre as retas y = x e y = 3-x, que ocorre em (3/2, 3/2). Usando y = x em F(x, y) obtemos F(x, y =x) = 2x-x = x. F(x) = x terá valor máximo quando x for máximo (3/2) e mínimo quando x for mínimo (0). Note que dessa vez obtemos o valor (0,0) como um mínimo, e não como um máximo. Falta estudar a função em y = 3-x,
F(x, y = 3-x) = 2x-(3-x) = 3x - 3. Lembrando que novamente x varia de 0 até 3/2. F(0) = -3, f(3/2) = 3/2.
Temos os candidatos para maximo e mínimo
F(0,0) = 0
F(3/2,3/2) = 3/2
F(0,3) = -3
portanto F(3/2, 3/2) é maximo e F (0,3) é mínimo em A