Teorema de valor

Obs1: Aqui não estaremos utilizando a sugestão do enunciado. Obs2: onde se lê \infty entenda por sendo o infinito e \squar como sendo a raiz quadrada. Considere a função f: [0,+ \infty ) -> [0, + \infty) dada por f(x) = x^2. Observe que a função f é um polinômio logo é contínua. uma consequência do TVI é que uma função continua definida no intervalo tem como imagem um intervalo, logo a função f tem como imagem um intervalo e esse intervalo coincide com contradomínio tendo em vista que a f(0) =0 e Lim f(x) = +\infty (quando x -> \infty). Ou seja f é sobrejetora. Como f é sobrejetora, para todo r pertencente ao contradomínio, existirá um x no domínio tal que x^2=r. Sabemos também que toda função estritamente crescente em injetora, logo f é injetora. Como f é injetora e sobrejetora, f é bijetora. Isso nos permite concluir que dado r >= 0, existe (e é único) o número x >= 0 tal que x^2 = r, ou seja, x = \squar(r), em palavras: todo número r não negativo possuí raíz quadrada. :)