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Troca de ordem de integraçao dupla

Matemática

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Jorizia perguntou há 4 anos

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Professor Marcus V.
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Respondeu há 4 anos

Ola Jorizia

\int \limits_{-1}^{2}    \int \limits_{-2x}^{-2x^2+4} dydx = \int \limits_{-1}^{2} y \big|_{-2x}^{-2x^2+4} dx = \int \limits_{-1}^{2} [-2x^2 + 4 -(-2x)] dx= [-2x^3 / 3 + 4x + x^2 ] |_{-1}^{2} = -6 +12 + 3 = 9

 

b) invester a ordem de integração significa deixar x em função de y. No seu gráfico a região é delimitado por duas curvas: y = -2x² + 4 e y=-2x.  Invertendo voce encontra :

x = \pm \sqrt( \frac{(4-y)}{2} )    Para escolher qual solução de x ser usada vce precisa olhas no gráfico. Ja adianto que será a positiva. O outro limite é x = -y/2.  Agora a integral será para dxdy.

 

Abraço e bons estudos

 

 

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Professor Mateus F.
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Respondeu há 4 anos

Segue resposta do item A. Infelizmente, não consigo anexar imagens para resolver o item B.

Item a

\int_{-1}^{2} \int_{-2x}^{-2x^2+4}1 dy dx   

=\int_{-1}^{2}(y) \Biggr|_{-2x}^{-2x^2+4} dx, pois \int 1 dy = y

=\int_{-1}^{2} (-2x^2+4) - (-2x) dx

=\int_{-1}^{2} -2x^2+ 2x + 4 dx

= -\frac{2}{3}x^3+ x^2 + 4x \Biggr|_{-1}^{2}

= -\frac{2}{3}2^3+ 2^2 + 4 \cdot 2 - (-\frac{2}{3}(-1)^3+ 1^2 + 4 (-1)) \\

= -\frac{16}{3}+ 4 + 8 - (\frac{2}{3}+ 1 - 4 )

= -\frac{16}{3}+ 4 + 8 - \frac{2}{3} - 1 + 4

= 4 + 8 -1 + 4 -\frac{16}{3} - \frac{2}{3}

= 15 -\frac{18}{3}

 

= 15 - 6

= 9

 

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