Um triângulo isósceles tem 4cm de altura e 6cm base. Qual a maior área possível para um retângulo dentro do triângulo (sabendo que a base do retângulo coincide?

Professora Aruana C.

Respondeu há 10 anos

Melhor resposta

Essa foi a melhor resposta, escolhida pelo autor da dúvida

Juliana, esta questão envolve semelhança de triângulos e o conceito de máximos e mínimos de funções do 2º grau.
Desenhe o triângulo e, dentro dele, o retângulo, de modo que os dois vértices superiores do retângulo toquem nas laterais do triângulo e a base esteja sobre a base do triângulo. Você vai ver que outros pequenos triângulos vão ser formados. Pegue , por exemplo, o triângulo retângulo que se forma no canto inferior esquerdo (haverá dois iguais, cada um de um lado). Ele é semelhante ao triângulo retângulo que tem base igual a 3 e altura igual a 4 (a metade do triângulo todo). Se chamarmos de x a metade da base do retângulo e de y a sua altura, teremos que:

y /4 = (3-x) / 3

Desenvolvendo, você chega a a y = (-4/3)x + 4.

Sabendo que a área do retângulo é y*2x, você faz:

Área = y*2x

Área =[ (-4/3)x + 4] * 2x

Daí você vai ter uma função do 2º grau que não vou desenvolver agora, ok? Mas aí você desenvolve e você terá uma função cuja parábola é voltada para baixo (pois a < 0 ). Isso significa que haverá um valor máximo para a função área do retângulo, e para achar este valor máximo, você faz:

Área máxima = -delta/4a


Desenhando fica bem melhor de visualizar. Se vc não entendeu, manda uma mensagem que mandarei um esboço para você.

Abraço!

Professor Caio M.

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Respondeu há 2 meses

Olá, bom dia! Vamos lá!

A questão diz sobre um retângulo inscrito em um triângulo isósceles de altura 4cm e base, que concide com a do retângulo, igual a 6cm.

Chamemos a base do retângulo de "x" e a altura do mesmo de "y". Teremos, então, através de uma semelhança de triângulos:

x/6 = 4-y/4 -> 2x = 12 - 3y -> x = 6 - 3/2y ( Isolando x em função de y)

Sabemos que a área do retângulo é igual a xy. Substituindo o valor de y, ficaremos com a área do retângulo igual a (6y - 3/2y²)

Quando trabalhamos com questões que falam de valores máximos e mínimos, devemos nos atentar ao uso do Yv = f(Xv)

Como Xv = -b/2a = -6/-3 = 2 -> Yv = f(Xv) = f(2) = 6.

Logo, a maior área possível para o retângulo é 6cm².