Desvendando uma questão do ENEM de forma lógica.

Olá pessoal, tudo bem com vocês? Eu espero que sim. Neste artigo, iremos mostrar como podemos interpretar uma questão do ENEM de 2019 para acertar em cheio! Todos prontos? Vamos lá! A questão é a seguinte:

Para contratar três máquinas que farão o reparo de vias rurais de um município, a prefeitura elaborou um edital que, entre outras cláusulas, previa:

• Cada empresa interessada só pode cadastrar uma única máquina para concorrer ao edital;

• O total de recursos destinados para contratar o conjunto das três máquinas é de R$ 31 000,00;

• O valor a ser pago a cada empresa será inversamente proporcional à idade de uso da máquina cadastrada pela empresa para o presente edital.

As três empresas vencedoras do edital cadastraram máquinas com 2, 3 e 5 anos de idade de uso. Quanto receberá a empresa que cadastrou a máquina com maior idade de uso?

A R$ 3 100,00

B R$ 6 000,00

C R$ 6 200,00

D R$ 15 000,00

E R$ 15 500,00

Antes de resolver, segue algumas noções que você precisa ter para resolver esse problema: Equação do 1º grau e Proporção (Proporcionalidade). 

Então, vamos à solução deste problema. A pergunta é: como interpretá-lo? A resposta vem a seguir. Primeiramente, vamos ver que história o ENEM nos conta dessa vez? Então vem comigo.

Conta a história de uma prefeitura que irá contratar 3 máquinas para reparar as vias rurais de um município, certo? Pois bem, para esse contrato, a prefeitura criou um edital que falava algumas regras desse reparo. Vamos ler com calma?

-> A primeira informação não é tão relevante.

-> Vamos à segunda. Aqui, devemos agir de forma lógica, sempre ok? Então, a segunda informação nos fala que o total de recursos (ou seja, o total em dinheiro) destinado ao contrato dessas 3 máquinas é de 31000. Então, sabemos que o TOTAL=31000. As questões em Matemática envolvem muito esse trabalho com as equações. Então devemos pensar nos dois membros dessa igualdade. Vejamos, o segundo membro tem 31000, beleza. Agora, o primeiro membro tem o TOTAL que podemos reescrever de uma outra maneira, de acordo com o enunciado. Vamos perceber que, à partir da terceira informação, vamos ter que reescrever TOTAL. Vocês vão entender melhor do que eu estou falando. 

-> Na terceira informação, ele fala que o valor a ser pago para cada empresa (que tem cada máquina) deve ser inversamente proporcional à idade de uso da máquina de cada empresa. Aqui, devemos entender como é a definição de um número (no caso um valor) ser inversamente proporcional a outro número (outro valor). Aqui devemos ter cuidado. Vamos expressar de forma bem acessível para todos entenderem. Dizemos que um valor a é inversamente proporcional a outro valor b quando o quociente (ou seja a divisão) de a por 1/b é igual à outro número c constante. Notemos que iremos usar essa definição 3 vezes. É sempre importante entendermos a definição dos conceitos em Matemática. Se não entendemos direito uma determinada definição, fica difícil fazer o exercício, não é verdade? Por isso, devemos entender tudo direitinho.

 -> Na comanda do enunciado, cita justamente as idades das 3 máquinas, que são 2,3 e 5 anos, respectivamente. Então, tendo todas essas informações em mãos, vamos montar o problema. Não sabemos o valor a ser pago de nenhuma das 3 empresas. Então, vamos chamar de letras (ou incógnitas, como preferir):

Seja     A: valor a ser pago pela máquina A

            B: valor a ser pago pela máquina B

            C: valor a ser pago pela máquina C

Logo, vemos que: TOTAL=A+B+C 

Sabendo que TOTAL=31000, concluímos que A+B+C=31000 (I)

Observe novamente essa informação:o valor a ser pago para cada empresa (que tem cada máquina) deve ser inversamente proporcional à idade de uso da máquina de cada empresa 

e a definição: a é inversamente proporcional a outro valor b quando o quociente (ou seja a divisão) de a por 1/b é igual à outro número c constante, chamado constante de proporcionalidade.

Usando a nossa definição, temos:  (II) (Esse k é a constante de proporcionalidade)

Observemos que, pelas igualdades, precisamos saber qual o valor de k, pois daí igualamos A / 1/2 com k, B / 1/3 com k e C / 1/5 com k também para descobrirmos assim os valores de A, B e C. Viram como a definição de proporcionalidade é muito importante? Com ela, podemos pensar de forma lógica na solução, então tenham em mente cada definição na hora da prova, pois podem ser úteis (e muito úteis).

Agora, nossa ação será de usar uma propriedade dos números inversamente proporcionais. A propriedade nos diz:

Se temos números inversamente proporcionais, então esses números formam uma proporção com a soma dos seus numeradores e denominadores. Agora, vamos traduzir o que queremos dizer com essa propriedade. Ela nos fala que

 , certo? Ou seja, podemos somar os numeradores e os denominadores sem problemas que não alteramos o valor das proporções. Agora, convém calcularmos o valor dessa

fração, né? Então vamos lá! Substituindo A+B+C=31000 (são valores iguais então podemos substituir sem problemas), teremos:

 (Aqui usamos o m.m.c.(2,3,5) pois estamos somando frações com denominadores diferentes e depois dividimos pelo denominador e multiplicamos pelo numerador (uma regra prática),ok? 

Agora, podemos escrever essa multiplicação de frações da forma:

 (Aqui simplificamos 31 dividido por 31 que dá 1, e 30000 x 1 = 30000 (Um número vezes 1 dá ele mesmo, outra propriedade que pode ser demonstrada, inclusive)

Sendo assim, vendo todas essas igualdades, concluímos que:

 (Notemos que k é a constante de proporcionalidade e descobrimos ela inclusive)

Agora, em meio a essas igualdades, devemos usar a lógica matemática e pensar qual é a máquina de maior uso? A que tem 5 anos de uso, pois 5>2 e 5>3, certo? Então, utilizaremos apenas a equação 

Para resolver essa equação em C, temos que dividir as frações no primeiro membro, e daí usamos mais uma propriedade (Na divisão de frações, conservamos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da segunda fração). Assim:

Finalmente, usando o conceito de resolução de uma equação de 1º grau (que já temos artigo sobre isso, veja lá) vamos pegar o 5.C e multiplicar por 1/5. Daí:

 Porém 5.C vale exatamente 30000. Substituindo:

Portanto, Alternativa B

Por fim, deixo uma dica: DICA IMPORTANTE: Se você não conhece ou não sabe onde tem as definições dos conceitos de matemática, pesquise no wikipédia que terá a maioria das definições.

Espero ter ajudado você a compreender melhor a essência da Matemática, tudo é um raciocínio lógico, um jogo com definições e resultados importantes. A matemática não são apenas cálculos. Fico muito feliz em compartilhar mais esse artigo. Grande abraço, ótimos estudos e até mais!