Exercícios de função exponencial

Matemática

Ensino Médio

Reforço Escolar

Funções

Teoria dos Números

A função exponencial é toda função de ℝ em ℝ^*_{+ ,}definida por f(x) = a^x, onde a é um número real, maior que zero e diferente de 1.

Aproveite os exercícios comentados para tirar todas as suas dúvidas sobre esse conteúdo e não deixe de verificar seus conhecimentos nas questões resolvidas de concursos.

Questão 1

Um grupo de biólogos está estudando o desenvolvimento de uma determinada colônia de bactérias e descobriu que sob condições ideais, o número de bactérias pode ser encontrado através da expressão N(t) = 2000 . 2^0,5t, sendo t em horas.

Considerando essas condições, quanto tempo após o início da observação, o número de bactérias será igual a 8192000?

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Resposta: 8 192 000 bactérias após 1 dia (24 h) do início da observação.

Na situação proposta, conhecemos o número de bactérias, ou seja, sabemos que N(t) = 8192000 e queremos descobrir o valor de t. Então, basta substituir esse valor na expressão dada:

$começar estilo tamanho matemático 14px N parêntese esquerdo t parêntese direito igual a 8192000 igual a 2000.2 à potência de 0 vírgula 5 t fim do exponencial 2 à potência de 0 vírgula 5 t fim do exponencial igual a 8192000 sobre 2000 2 à potência de 0 vírgula 5 t fim do exponencial igual a 4096 fim do estilo$

Para resolver essa equação, vamos escrever o número 4096 em fatores primos, pois se tivermos a mesma base, podemos igualar os expoentes. Portanto, fatorando o número, temos:

$começar estilo tamanho matemático 14px 2 à potência de 0 vírgula 5 t fim do exponencial igual a 2 à potência de 12 Como espaço as espaço bases espaço são espaço iguais vírgula espaço podemos espaço igualar espaço os espaço expoentes dois pontos 1 meio. t igual a 12 t igual a 12.2 igual a 24 fim do estilo$

Logo, a cultura terá 8 192 000 bactérias após 1 dia (24 h) do início da observação.

Questão 2

Os materiais radioativos possuem uma tendência natural, ao longo do tempo, de desintegrar sua massa radioativa. O tempo necessário para que metade da sua massa radioativa se desintegre é chamado de meia-vida.

A quantidade de material radioativo de um determinado elemento é dado por:

$N parêntese esquerdo t parêntese direito igual a N com 0 subscrito. parêntese esquerdo 1 meio parêntese direito à potência de t sobre T fim do exponencial$

Sendo,

N(t): a quantidade de material radioativo (em gramas), em um determinado tempo.
N₀: a quantidade inicial de material (em gramas)
T: o tempo da meia vida (em anos)
t: tempo (em anos)

Considerando que a meia-vida deste elemento é igual a 28 anos, determine o tempo necessário para que o material radioativo se reduza a 25% da sua quantidade inicial.

Solução

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Resposta: 56 anos para que a quantidade de material radioativo seja reduzida em 25%.

Para a situação proposta A(t) = 0,25 A₀ = 1/4 A₀, sendo assim, podemos escrever a expressão dada, substituindo T por 28 anos, então:

$1 quarto N com 0 subscrito igual a N com 0 subscrito. abre parênteses 1 meio fecha parênteses à potência de t sobre 28 fim do exponencial parêntese esquerdo 1 meio parêntese direito ao quadrado igual a parêntese esquerdo 1 meio parêntese direito à potência de t sobre 28 fim do exponencial t sobre 28 igual a 2 t igual a 28.2 igual a 56 espaço$

Portanto, serão necessários 56 anos para que a quantidade de material radioativo seja reduzida em 25%.

Questão 3

O gráfico a seguir apresenta uma curva exponencial. Determine a lei de formação desta função.

Gráfico de uma curva exponencial decrescente.

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Resposta: $reto f parêntese esquerdo reto x parêntese direito igual a 3. abre parênteses 1 meio fecha parênteses à potência de 0 vírgula 5. reto x fim do exponencial$

Uma função exponencial tem a forma $reto f parêntese esquerdo reto x parêntese direito igual a reto n. reto a à potência de reto x$ .

No gráfico, observamos dois pontos de interesse: (0, 3) e (-2, 6). Aplicando na função o ponto (0, 3):

$reto f parêntese esquerdo reto x parêntese direito igual a reto n. reto a à potência de reto x reto f parêntese esquerdo 0 parêntese direito igual a reto n. reto a à potência de 0 3 igual a reto n.1 3 igual a reto n$

Uma vez determinado n, o substituímos na função e aplicamos o ponto (-2, 6).

$reto f parêntese esquerdo reto x parêntese direito igual a reto n. reto a à potência de reto x reto f parêntese esquerdo reto x parêntese direito igual a 3. reto a à potência de reto x reto f parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito igual a 3. reto a à potência de menos 2 fim do exponencial 6 igual a 3. reto a à potência de menos 2 fim do exponencial 6 sobre 3 igual a reto a à potência de menos 2 fim do exponencial 2 igual a reto a à potência de menos 2 fim do exponencial 2 igual a 1 sobre reto a ao quadrado reto a ao quadrado igual a 1 meio reto a igual a raiz quadrada de 1 meio fim da raiz$

Para não trabalharmos com a raiz, podemos transformá-la em uma potência.

$reto a igual a abre parênteses 1 meio fecha parênteses à potência de 1 meio fim do exponencial espaço ou espaço reto a igual a abre parênteses 1 meio fecha parênteses à potência de 0 vírgula 5 fim do exponencial$

Aplicando na forma geral da função exponencial, temos:

$reto f parêntese esquerdo reto x parêntese direito igual a 3. abre parênteses 1 meio fecha parênteses à potência de 0 vírgula 5. reto x fim do exponencial$

Questão 4

A massa de uma substância diminui com o tempo ao ser exposta a um reagente. Em uma experiência, uma amostra possui de 1600 g foi exposta ao reagente. Constatou-se que sua massa era reduzida a uma taxa de 25% por hora. Determine a função que representa a redução de massa e quanto tempo de degradação é necessário para restar 900 g da quantidade inicial.

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Resposta: 2 h

Objetivo
Determinar a lei da função de redução da massa em relação ao tempo e, determinar o tempo para que sobre 900 g da quantidade inicial.

Dados
Massa inicial = 1900 g
Taxa de redução de 25%.

Resolução
Reduzir 25% equivale a multiplicar por 0,75%.

A quantidade inicial de 1900g é multiplicada por 0,75, a cada hora.

Assim temos a função:

$reto f parêntese esquerdo reto t parêntese direito igual a 1600. parêntese esquerdo 0 vírgula 75 parêntese direito à potência de reto t$

Para determinar em quanto tempo a massa inicial será de 900 g, fazemos:

$900 igual a 1600 parêntese esquerdo 0 vírgula 75 parêntese direito à potência de reto t 900 sobre 1600 igual a 0 vírgula 75 à potência de reto t 9 sobre 16 igual a abre parênteses 75 sobre 100 fecha parênteses à potência de reto t 3 ao quadrado sobre 4 ao quadrado igual a abre parênteses 3 sobre 4 fecha parênteses à potência de reto t abre parênteses 3 sobre 4 fecha parênteses ao quadrado igual a abre parênteses 3 sobre 4 fecha parênteses à potência de reto t reto t espaço igual a espaço 2$

Logo, são necessárias duas horas para a massa inicial atingir 900 g.

Questão 5

(Unesp - 2018) O ibuprofeno é uma medicação prescrita para dor e febre, com meia-vida de aproximadamente 2 horas. Isso significa que, por exemplo, depois de 2 horas da ingestão de 200 mg de ibuprofeno, permanecerão na corrente sanguínea do paciente apenas 100 mg da medicação. Após mais 2 horas (4 horas no total), apenas 50 mg permanecerão na corrente sanguínea e, assim, sucessivamente. Se um paciente recebe 800 mg de ibuprofeno a cada 6 horas, a quantidade dessa medicação que permanecerá na corrente sanguínea na 14ª hora após a ingestão da primeira dose será

a) 12,50 mg
b) 456,25 mg
c) 114,28 mg
d) 6,25 mg
e) 537,50 mg