Por: Marco S.
18 de Outubro de 2023

Exercícios de matemática básica

Matemática Ensino Fundamental Reforço Escolar Ensino Médio Álgebra Funções Números

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A Matemática básica envolve os conteúdos estudados na escola no Ensino Fundamental e Médio, etapas que compõem a Educação Básica.

Desde o início do seu aprendizado, o aluno é apresentado aos campos da Matemática: Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade.

A equivalência, ordem e a proporcionalidade são exemplos das ideias fundamentais que irão estar presentes em diversos assuntos dos campos da Matemática, portanto, nos exercícios.

Acompanhe a lista de exercícios de Matemática Básica com exercícios que selecionamos para você relembrar e desenvolver os conceitos básicos da Matemática. Todos os exercícios apresentam a resolução e explicação passo a passo para você tirar suas dúvidas.

Números (Aritmética)

Exercício 1 — Adição e Subtração

Na fazenda Morro Alto são produzidas laranjas. Assim que começou o período da colheita, uma grande produção já foi contabilizada. A tabela abaixo mostra a produção nos três primeiros dias.

Tabela com informações para resolução do exercício.

a) Qual a produção total nos três primeiros dias?

b) De quanto foi a queda na produção entre o dia de maior e menor produção?

Exercício 2 - Multiplicação

Elisa está a procura de uma televisão para colocar em sua sala. Ela viu um anúncio de um modelo novo com as opções de pagamento à vista e a prazo.

Imagem associada com a resolução da questão.

Quanto Elisa pagará a mais se optar pelo pagamento a prazo?

Exercício 3 — Divisão

Em um projeto para a construção de um cinema, os arquitetos estão avaliando a relação entre a quantidade de fileiras e a quantidade de cadeiras em cada fileira. O projeto inicial prevê uma sala para 304 pessoas. No caso de utilizarem 19 fileiras, o número de cadeiras por fileira será

a) 14.
b) 15.
c) 16.
d) 13.
e) 12.

Resposta correta: c) 16.

Para determinar a quantidade de cadeiras por fileira devemos dividir a quantidade total de lugares no cinema, 304, pelo número de fileiras, 19.

$304 espaço dividido por espaço 19 espaço igual a espaço 16$

Portanto, utilizando 19 fileiras, cada fileira terá 16 cadeiras.

Exercício 4 — Fração

Em uma gincana de férias, 75 crianças se inscreveram para participar das atividades de recreação. De modo a organizarem os jogos e atividades, eles verificaram a faixa etária dos inscritos e constataram que 2/5 das crianças têm mais de doze anos. Quantos participantes tem menos que 12 anos?

Resposta: 45 crianças.

Se 2/5 das crianças têm mais de 12 anos, 3/5 têm menos de 12 anos, pois

$3 sobre 5 mais 2 sobre 5 igual a 5 sobre 5 igual a 1$

Para calcular quanto é 3/5 de 75, fazemos

$3 sobre 5 espaço d e espaço 75 espaço igual a espaço 3 sobre 5 sinal de multiplicação espaço 75 igual a espaço 225 sobre 5 igual a espaço 45$

Desta forma, 45 crianças têm menos de 12 anos.

Exercício 5 — Operações com Frações

Carlos, Roberto e Maurício são irmãos. Eles decidiram limpar e cortar a grama de um campinho de futebol que fica ao lado da casa deles para poderem brincar durante as férias. Até agora, Carlos e Roberto já limparam cada um uma parte.

Carlos que é o caçula limpou 1/5 do campo.
Roberto limpou 2/4 do campo.

Qual dos irmãos irá limpar a maior parte do campinho

Resposta: Roberto irá limpar a maior parte do campinho.

Resolução

Para determinar quem irá limpar a maior parte do campinho, devemos descobrir que parte Maurício irá limpar. Para comparar, as frações devem ter os mesmos denominadores.

Estratégia: subtrair da fração que representa o total da área do campinho, da fração (parte) que Carlos e Roberto já limparam, a parte que sobrar é a parte de Maurício.

Para somar as quantidades que Carlos e Roberto cortaram, devemos igualar os denominadores das frações. Para isso, determinamos o menor múltiplo comum entre 5 e 4 fazendo a fatoração.

MMC entre 5 e 4.

O novo denominador das frações será, 20.

Para encontrar os numeradores das frações equivalentes, dividimos 20, que é o MMC, pelo denominador de cada fração original, e multiplicamos pelos numeradores.

A fração equivalente a de Carlos, será

$20 espaço dividido por espaço 5 igual a espaço 4 espaço parêntese esquerdo 5 espaço reto é espaço reto o espaço denominador espaço d a espaço f r a ç ã o espaço o r i g i n a l parêntese direito 4 espaço sinal de multiplicação espaço 1 espaço igual a espaço 4 espaço parêntese esquerdo 1 espaço reto é espaço reto o espaço numerador espaço d a espaço f r a ç ã o espaço o r i g i n a l parêntese direito$

Assim, o novo numerador será 4, e a fração será:

$4 sobre 20$

A fração equivalente a de Roberto, será

$20 espaço dividido por espaço 4 espaço igual a espaço 5 espaço parêntese esquerdo 4 espaço reto é espaço reto o espaço denominador parêntese direito 5 espaço sinal de multiplicação espaço 2 espaço igual a espaço 10 espaço parêntese esquerdo 2 espaço reto é espaço reto o espaço numerador parêntese direito$

Assim, o novo numerador será 10, e a fração será:

$10 sobre 20$

Ao todo. Carlos e Roberto já cortaram

$4 sobre 20 mais 10 sobre 20 igual a 14 sobre 20$

A fração que representa todo o campinho é 20/20

Desse modo, restam para Maurício limpar

$20 sobre 20 menos 14 sobre 20 igual a 6 sobre 20$

Com as três frações com denominadores iguais, podemos comparar e descobrir de quem é a maior.

$C a r l o s dois pontos espaço 4 sobre 20 R o b e r t o dois pontos 10 sobre 20 M a u r í c i o dois pontos espaço 6 sobre 20$

Assim, Roberto irá limpar a maior parte do campinho.

Exercício 6 — Múltiplos

Em uma cidade são organizados a cada três anos os Jogos Universitários Gerais, um evento de competição esportiva que reúne os melhores nomes do esporte local. Em 2020 aconteceram os últimos jogos municipais, mesmo ano em que aconteceram os Jogos Olímpicos Internacionais, no Japão. Qual será o próximo ano em que os dois eventos irão acontecer simultaneamente?

Resposta: 2 032.

Os Jogos Olímpicos Internacionais acontecem a cada 4 anos e os Jogos Universitários Gerais a cada 3 anos. Escrevendo os anos em que acontecerão as próximas edições, temos:

Jogos Olímpicos: 2020, 2024, 2028, 2032
Jogos Universitários: 2020, 2023, 2026, 2029, 2032

Vemos que o próximo ano em que os dois eventos ocorrerão, simultaneamente, será 2032.

Para determinar este ano fazemos o Menor Mínimo Comum (MMC) entre 3 e 4, que são os intervalos de tempo para cada evento.

Para calcular o MMC, devemos fatorar 3 e 4, depois, multiplicamos os divisores.

MMC entre 3 e 4.

Como o MMC entre 3 e 4 é 12, o próximo ano em que os dois eventos irão acontecer simultaneamente será:

2020 + 12 = 2032

Exercício 7 — Potenciação

Nossa herança genética pode trazer mais surpresas do que supomos. Uma árvore genealógica é um instrumento que permite registrar e organizar a história de nossos antepassados, nela a cada geração, desenhamos mais dois “galhos”.

Esquema de árvore genealógica.

Desta forma, a cada geração anterior, multiplicamos por dois o número de antepassados, em relação à anterior.

Se considerarmos uma média de vinte anos para cada geração como tempo médio para gerar novos descendentes, há duzentos anos, quantas pessoas estariam nomeadas em sua árvore genealógica, nesta geração específica

Resposta: 1 024 antepassados.

Como estamos considerando 20 anos para cada geração, em 200 anos, teremos 10 gerações.

1ª geração passada: 2 pessoas (pais)
2ª geração passada: 4 pessoas (avós)
3ª geração passada: 8 pessoas (bisavós)

Queremos um modo de determinar quantos antepassados há em uma determinada geração. No caso da questão, a décima.

Fatorando as respostas para as primeiras 3 gerações, temos:

$1 ª g e r a ç ã o dois pontos espaço 2 espaço igual a espaço 2 à potência de 1 2 ª g e r a ç ã o dois pontos espaço 2 espaço x espaço 2 espaço igual a espaço 4 espaço igual a espaço 2 ao quadrado 3 ª g e r a ç ã o dois pontos espaço 2 espaço x espaço 2 espaço x espaço 2 espaço igual a espaço 8 espaço igual a espaço 2 ao cubo$

Expandindo este raciocínio, calculando uma potência de base 2, onde o expoente representa a geração que procuramos, determinamos a geração.

Desta forma, para a décima geração, temos:

$10 ª espaço g e r a ç ã o dois pontos espaço 2 à potência de 10 igual a 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 espaço igual a 1 espaço 024$

Portanto, apenas na décima geração passada, havia 1 024 antepassados.

Exercício 8 — Números Decimais e Frações

Em uma corrida, quatro competidores disputam uma colocação nas finais do campeonato nacional. Em um determinado momento estas eram as frações que representavam o quanto cada atleta já havia percorrido da prova.

Atleta A: 3/4
Atleta B: 4/5
Atleta C: 5/8
Atleta D: 6/8

Transforme as frações em números decimais e os marque na reta numérica, depois responda à questão usando números decimais:

a) Quanto o atleta na primeira colocação está a frente do segundo?
b) Quanto falta para cada atleta terminar a prova?

Para transformar as frações em números decimais, devemos dividir o numerador pelo denominador.

A: 3/4 = 0,75
B: 4/5 = 0,8
C: 5/8 = 0,625
D: 6/8 = 0,75

Em ordem crescente:
0,625
0,75 e 0,75
0,8

a) Na segunda posição, temos que os atletas A e D estão empatados, isso porque as frações 3/4 e 6/8 são equivalentes, representam a mesma quantidade, pois são frações equivaçentes.

Em relação ao primeiro colocado:

0,8 - 0,75 = 0,05

b) A prova completa é representada em fração, quando o numerador e igual ao denominador. Para cada atleta temos:

A: 4/4 = 1,0
B: 5/5 = 1,0
C: 8/8 = 1,0
D: 8/8 = 1,0

Da posição considerada, até chegar ao final faltam, para cada atleta:

A: 1,0 - 0,75 = 0,25
B: 1,8 - 0,8 = 0,2
C: 1,0 - 0,625 = 0,375
D: 1,0 - 0,75 = 0,25

Exercício 9 — Números Decimais e Aproximação

A loja Preço bom está vendendo um conjunto com 5 camisas por um preço promocional. Cada unidade sai por R$ 31,45 e o conjunto das cinco camisas sai pelo preço de quatro. Se optar pelo conjunto, o cliente pode dividir o valor em três vezes sem juros. De quanto será o preço da parcela?

Resposta: R$ 41,93.

O preço de quatro camisas:

$31 vírgula 45 espaço sinal de multiplicação espaço 4 espaço igual a espaço 125 vírgula 80$

Dividindo em três parcelas:

$125 vírgula 8 espaço dividido por espaço 3 espaço aproximadamente igual espaço 41 vírgula 9333 espaço...$

Sendo uma dízima periódica, faremos uma aproximação.

Se o período for maior que 5, aproximamos para 41,94.
Se o período for menor que 5, aproximamos para 41,93.

O período, parte que se repete, é 3. Como é menor que 5, aproximamos o preço da parcela para R$ 41,93.

Álgebra

Exercício 10 — Porcentagem, Juros simples e Compostos

Um investidor comprou R$ 18 000,00 em títulos do Tesouro Nacional. Os títulos que ele adquiriu são da modalidade pré-fixados, o que significa que o rendimento já é combinado na hora da compra. A taxa combinada foi de 0,08% a.m. (ao mês), considerando o sistema de juros simples.

Uma alternativa seria investir a mesma quantia em outros produtos financeiros no sistema de juros compostos.

Considerando 12 meses com a mesma quantia investida, caso o investidor optasse pelo sistema de juros compostos com a mesma taxa mensal, qual seria a diferença entre os montantes nos dois sistemas?

Resposta: A diferença será de R$ 78,10.

1º passo: conhecer o rendimento do investimento no sistema de juros simples, nos Títulos do Tesouro Nacional. Este rendimento são os juros.

Dados:
Sistema de juros simples;
Taxa (i): 0,8% ao mês = 0,008 ao mês
Tempo de investimento (t): 12 meses

O montante M, é o capital inicial investido C, mais os juros J.

M = C + J

Os juros por sua vez são a multiplicação entre o capital, a taxa e o tempo.
J = C.i.t
J = 18 000.0,008.12 = 1 728

O montante será:

M = 18 000 + 1 728 = 19 728

2º passo: conhecer o rendimento no sistema de juros compostos.

No sistema de juros compostos o montante é calculado como:

$M igual a C abre parênteses 1 mais i fecha parênteses à potência de t$

Substituindo os valores:

$M igual a 18 espaço 000 espaço. espaço abre parênteses 1 mais 0 vírgula 008 fecha parênteses à potência de 12 M igual a 18 espaço 000 espaço. espaço 1 vírgula 008 à potência de 12 M igual a 19 espaço 806 vírgula 10$

3° passo: calcular a diferença entre os montantes sob juros simples e compostos.

19 806,10 - 19 728 = 78,10

Portanto, a diferença será de R$ 78,10.

Exercício 11 — Equação do 1º grau com uma incógnita

Bianca aproveitou o domingo de Sol para passear com suas duas filhas. Ela comprou um sorvete para cada menina e uma garrafa de suco para ela que custava R$ 5,00. Ela pagou tudo com uma nota de R$ 50,00 e recebeu de troco R$ 36,00. Utilize uma equação para descrever esta situação, depois, determine o preço de cada sorvete.

Resposta: O sorvete custa R$ 4,50.

Chamando o preço do sorvete de x, temos que dois sorvetes serão 2x.

A equação fica da seguinte forma:

$50 espaço menos espaço 2 x espaço menos espaço 5 espaço igual a espaço 36$

Para resolver uma equação do 1º grau, devemos isolar os termos com letras de um lado da igualdade.

$50 espaço menos espaço 5 espaço menos espaço 36 espaço igual a espaço 2 x espaço 9 espaço igual a espaço 2 x 9 sobre 2 igual a x 4 vírgula 5 igual a x$

Assim, cada sorvete custou R$ 4,50.

Exercício 12 — Sistema de Equações do 1º grau com duas incógnitas

Um carro com flex consegue utilizar uma mistura de álcool e gasolina sem acarretar nenhum problema mecânico. Um condutor de um carro flex abasteceu 30 litros de combustível, misturando gasolina e álcool. Ele pagou um total de R$ 190,00. Neste posto, os preços da gasolina e do álcool são, respectivamente, R$ 8,00 e R$ 5,50. Quantos litros de cada combustível foram abastecidos?

Resposta: 10 litros de gasolina e 20 litros de álcool.

Quando temos dois valores desconhecidos, precisamos de duas equações para resolver um sistema.

Queremos saber quantos litros de álcool (a) e de gasolina (g) foram abastecidos.

Equação do preço

$8. g espaço mais espaço 5 vírgula 5. a espaço igual a espaço 190 espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I parêntese direito$

Equação da quantidade

Sabemos que o total de litros foi 30, dessa forma:

$g espaço mais espaço a espaço igual a espaço 30 espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I I parêntese direito$

Utilizando o método da substituição, isolamos g na equação II.

g = 30 - a

Substituímos o valor de g, na equação I e resolvemos para a.

$8. parêntese esquerdo 30 menos a parêntese direito espaço mais espaço 5 vírgula 5 a espaço igual a espaço 190 8.30 espaço menos espaço 8. a espaço mais espaço 5 vírgula 5 a espaço igual a espaço 190 240 espaço menos espaço 2 vírgula 5 a espaço igual a espaço 190 240 espaço menos espaço 190 espaço igual a espaço 2 vírgula 5 a 50 espaço igual a espaço 2 vírgula 5 a numerador 50 sobre denominador 2 vírgula 5 fim da fração igual a a 20 igual a a$

Assim, foram abastecidos 20 litros de álcool. Para determinar a quantidade de gasolina, basta substituir na equação II.

g + a = 30
g + 20 = 30
g = 30 - 20
g = 10

Portanto, 10 litros de gasolina foram abastecidos.

Exercício 13 — Equação do 2º grau

Um clube vai utilizar uma área quadrada para construir uma piscina de 12 m x 12 m. Ao redor da piscina será instalado um piso antiderrapante, como na ilustração.

Quadrados concêntricos representando uma piscina e uma calçada ao redor.

No projeto inicial que o instalador recebeu, consta apenas a área a ser coberta com o piso antiderrapante, 52 m².

Sabendo que a largura de toda calçada ao redor da piscina se mantêm constante, qual a medida da largura desta calçada?

Considerando a área da piscina mais a área da calçada, temos:

Área da calçada = 52 m²
Área da piscina = 12 x 12 = 144 m²

Área total = 52 + 144 = 196 m²

Se olharmos para o quadrado exterior, da calçada, suas dimensões laterais são:

Medida do lado = x + 12 + x = 2x +12

A área total pode ser obtida pelo produto dos lados e, é igual a 196 m².

$parêntese esquerdo 2 x mais 12 parêntese direito. parêntese esquerdo 2 x mais 12 parêntese direito igual a 196$

Usamos a propriedade distributiva da multiplicação para multiplicar todos os termos nos parênteses.

$2 x.2 x mais 2 x.12 mais 12.2 x mais 12.12 igual a 196$

Juntando os termos semelhantes:

$4 x ao quadrado mais 24 x mais 24 x mais 144 igual a 196 4 x ao quadrado mais 48 x mais 144 igual a 196$

Trazendo 340 para o primeiro membro da equação:

$4 x ao quadrado mais 48 x mais 144 menos 196 igual a 0 4 x ao quadrado mais 48 x mais 144 menos 196 igual a 0 4 x ao quadrado mais 48 x menos 52 igual a 0$

Para determinar a largura x da calçada, devemos resolver a equação do segundo grau, isto é, determinar suas raízes.

Uma equação do segundo grau tem a forma $a x ao quadrado mais b x espaço mais espaço c espaço igual a espaço 0$ .

Os termos desta equação do segundo grau são:

a = 4
b = 48
c = -52

Como todos os coeficientes são divisíveis por 4, podemos simplificar a equação:

a = 4 / 4 = 1
b = 48 / 4 = 12
c = -52 / 4 = -13

O discriminante (delta) da equação é igual a:

$incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a 12 ao quadrado espaço menos espaço 4 espaço. espaço 1 espaço. espaço parêntese esquerdo menos 13 parêntese direito incremento igual a 144 mais 52 incremento igual a 196$

Utilizando a Fórmula de Bhaskara:

$numerador menos b mais ou menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração$

Substituindo os valores:

$x 1 igual a espaço numerador menos 12 menos raiz quadrada de 196 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a espaço numerador menos 12 menos raiz quadrada de 196 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador menos 12 menos 14 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador menos 26 sobre denominador 2 fim da fração igual a menos 13 x 2 igual a espaço numerador menos 12 mais raiz quadrada de 196 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a espaço numerador menos 12 mais raiz quadrada de 196 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador menos 12 mais 14 sobre denominador 2 fim da fração igual a 2 sobre 2 igual a 1$

Como se trata de uma medida, descartamos a raiz x1, pois é negativa.

Desta forma, a largura da calçada é de 1 m.

Exercício 14 — Função Linear

Uma marca de óculos está avaliando a possibilidade de abrir uma nova fábrica e, para isto, está analisando os custos de fabricação por quantidade de óculos produzidos. Após um levantamento com fornecedores, a marca conseguiu baratear ao máximo o custo das matérias-primas e uma unidade sairá por R$ 8,50.
Além dos custos por unidade, existem os custos fixos como: aluguel, salários, energia e impostos. O total destes valores é de R$ 20 000,00 por mês.

a) Escreva a lei de uma função que relaciona o capital necessário para produzir uma quantia de x unidades.

b) Esboce o gráfico desta função.

c) Se 1 000 óculos forem produzidos, qual o preço mínimo que eles precisam ser vendidos para se pagar pelo menos os custos, sem acarretar lucro nem prejuízo ao fabricante.

a) C(x) = 20 000 + 8,5x

b) Gráfico custo pelo número de óculos produzidos.

O gráfico mostra que mesmo para nenhum óculos produzido o custo é de R$ 20 000. A partir daí, o custo aumenta de forma linear, a uma taxa de R$ 8,50 por óculos produzido.

c) R$ 28,50.

Passo 1: calcular o custo para produzir 1 000 óculos.

Substituindo na função, o custo para fabricar 1 000 óculos é de:

$C parêntese esquerdo x parêntese direito igual a 20 espaço 000 espaço mais espaço 8 vírgula 5 x C parêntese esquerdo 1000 parêntese direito igual a 20 espaço 000 espaço mais espaço 8 vírgula 5.1 espaço 000 C parêntese esquerdo 1000 parêntese direito igual a 20 espaço 000 espaço mais espaço 8 espaço 500 C parêntese esquerdo 1000 parêntese direito igual a 28 espaço 500$

Passo 2: calcular o preço de cada óculos para que o custo seja pago.

$numerador 28 espaço 500 sobre denominador 1 espaço 000 fim da fração igual a 28 vírgula 50$

Portanto, para que o custo se pague, será preciso vender os 1 000 óculos, por R$ 28,50 cada.

R$ 40 / h

Sapucaia do Sul / RS

Marco S.

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