Soma e produto é um método prático para encontrar as raízes de equações do 2º grau do tipo x2 - Sx + P e é indicado quando as raízes são números inteiros. Onde S é a soma e P o produto.
Baseia-se nas seguintes relações entre as raízes:
Resolva exercícios e atividades acadêmicas
Sendo,
x1 e x2: raízes da equação do 2º grau
a, b e c: coeficientes da equação do 2º grau
Desta forma, podemos encontrar as raízes da equação ax2 + bx + c = 0, se encontrarmos dois números que satisfaçam simultaneamente as relações indicadas acima.
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Se não for possível encontrar números inteiros que satisfaçam as duas relações ao mesmo tempo, devemos utilizar outro método de resolução.
Como encontrar esses números?
Para encontrar a solução devemos começar buscando dois números cujo produto seja igual a
. Depois verificamos se esses números também satisfazem o valor da soma.
Como nem sempre as raízes de uma equação do 2º grau são positivas, devemos aplicar as regras de sinais da soma e da multiplicação para identificarmos quais sinais devemos atribuir as raízes.
Para tal, teremos as seguintes situações:
- P > 0 e S > 0 ⇒ As duas raízes são positivas.
- P > 0 e S < 0 ⇒ As duas raízes são negativas.
- P < 0 e S > 0 ⇒ As raízes possuem sinais diferentes e a de maior valor absoluto é positiva.
- P < 0 e S < 0 ⇒ As raízes possuem sinais diferentes e a de maior valor absoluto é negativa.
Exemplos
a) Encontre as raízes da equação x2 - 7x + 12 = 0
Os coeficientes são:
a = 1
b = -7
c = 12
Assim, temos que encontrar dois números cujo produto é igual a 12.
Sabemos que:
- 1 . 12 = 12
- 2 . 6 = 12
- 3 . 4 = 12
Agora, precisamos verificar os dois números cuja soma é igual a 7.
Assim, identificamos que as raízes são 3 e 4, pois 3 + 4 = 7
b) Encontre as raízes da equação x2 + 11x + 24
Os coeficientes são:
a = 1
b = 11
c = 24
Procurando o produto igual a 24, temos:
- 1 . 24 = 24
- 2 . 12 = 24
- 3 . 8 = 24
- 4 . 6 = 24
Como o sinal do produto é positivo e o da soma é negativo (- 11), as raízes apresentam sinais iguais e negativos. Sendo assim, as raízes são - 3 e - 8, pois - 3 + (- 8) = - 11.
c) Quais são as raízes da equação 3x2 - 21x - 24 = 0?
Os coeficientes são:
a = 3
b = -21
c = -24
O produto poderá ser:
- 1 . 8 = 8
- 2 . 4 = 8
Sendo o sinal do produto negativo e da soma positivo (+7), concluímos que as raízes possuem sinais diferentes e que o maior valor possui sinal positivo.
Assim, as raízes procuradas são 8 e (- 1), pois 8 - 1 = 7
d) Encontre as raízes da equação x2 + 3x + 5
Os coeficientes são:
a = 1
b = 3
c = 5
O único produto possível é 5.1, contudo 5 + 1 ≠ - 3. Desta forma, não é possível encontrar as raízes por esse método.
Calculando o discriminante da equação descobrimos que ∆ = - 11, ou seja, essa equação não possui raízes reais (∆<0).
Exercícios Resolvidos
Exercício 1
O valor do produto das raízes da equação 4x2 + 8x - 12 = 0 é:
a) - 12
b) 8
c) 2
d) - 3
e) não existe
Exercício 2
A equação x2 - x - 30 = 0 apresenta duas raízes iguais a:
a) - 6 e - 5
b) - 1 e - 30
c) 6 e - 5
d) 30 e 1
e) - 6 e 5
3) Se 1 e 5 são as raízes da equação x2 + px + q = 0, então o valor de p + q é :
a) - 2
b) - 1
c) 0
d) 1
e) 2
