Exercícios sobre números complexos- resolução

Matemática

Ensino Médio

Reforço Escolar

Resolução de problemas

Teoria dos Números

Os números complexos são números que apresentam a forma $reto z espaço igual a espaço reto a espaço mais espaço bi$ , onde a representa a parte real de z e a parte imaginária corresponde a b, sendo i a unidade imaginária.

Questão 1

Qual o resultado obtido com a realização da soma e da subtração, respectivamente, dos números complexos z₁ = 3 + i e z₂ = 1 + 2i?

a) 2 + 3i e 1 – i
b) 3 + 2i e -4 – i
c) 4 + 3i e 2 – i
d) 1 + 2i e -3 – i

Reposta correta: c) 4 + 3i e 2 – i.

Operação de soma:

z₁ + z₂ = (a + c, b + d)

Na forma algébrica, temos:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Portanto:

$reto z com 1 subscrito espaço mais espaço reto z com 2 subscrito espaço igual a espaço parêntese esquerdo 3 espaço mais espaço reto i espaço parêntese direito espaço mais espaço parêntese esquerdo 1 espaço mais espaço 2 reto i parêntese direito espaço espaço espaço reto z com 1 subscrito espaço mais espaço reto z com 2 subscrito espaço igual a espaço parêntese esquerdo 3 espaço mais espaço 1 parêntese direito espaço mais espaço parêntese esquerdo 1 espaço mais espaço 2 parêntese direito reto i espaço espaço espaço reto z com 1 subscrito espaço mais espaço reto z com 2 subscrito espaço igual a espaço 4 espaço mais espaço 3 reto i$

Operação de subtração:

z₁ – z₂ = (a – c, b – d)

Na forma algébrica, temos:

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i

Portanto:

$reto z com 1 subscrito espaço menos espaço reto z com 2 espaço subscrito fim do subscrito igual a espaço parêntese esquerdo 3 espaço mais espaço reto i parêntese direito espaço menos espaço parêntese esquerdo 1 espaço mais espaço 2 reto i parêntese direito espaço espaço espaço reto z com 1 subscrito espaço menos espaço reto z com 2 subscrito espaço igual a espaço parêntese esquerdo 3 espaço menos espaço 1 parêntese direito espaço mais espaço parêntese esquerdo 1 espaço menos espaço 2 parêntese direito reto i espaço espaço espaço reto z com 1 subscrito espaço menos espaço reto z com 2 subscrito espaço igual a espaço 2 espaço menos espaço reto i$

Sendo assim, a soma e a subtração dos números complexos z₁ = 3 + i e z₂ = 1 + 2i são, respectivamente, 4 + 3i e 2 - i.

Questão 2

Qual a forma algébrica de z no caso 3z = z - (- 8 + 6i)?

a) z = 4 – 2i
b) z = 4 – 3i
c) z = 2 – 2i
d) z = 1 – 2i

Reposta correta: b) z = 4 – 3i.

A forma algébrica de z é utilizada para representar um número complexo através da fórmula:

z = x + yi

Onde:

x é a parte real de z

y é a parte imaginária de z

Portanto:

3 reto z espaço igual a espaço reto z espaço menos espaço parêntese esquerdo menos 8 espaço mais espaço 6 reto i parêntese direito espaço espaço espaço 3 reto z espaço menos espaço reto z espaço igual a espaço menos espaço parêntese esquerdo menos 8 espaço mais espaço 6 reto i parêntese direito espaço espaço espaço 2 reto z espaço igual a espaço 8 espaço menos espaço 6 reto i espaço espaço espaço reto z espaço igual a espaço numerador 8 espaço menos espaço 6 reto i sobre denominador 2 fim da fração espaço espaço espaço reto z espaço igual a espaço 4 espaço menos espaço 3 reto i

Logo, a forma algébrica de z no caso 3z = z - (-8 + 6i) é z = 4 – 3i.

Questão 3

O resultado -5 - 5i é obtido realizando qual das operações abaixo com os números complexos z₁ = 1 + 3i e z₂ = -2 + i? (Lembre-se que i² = -1).

a) z₁ + z₂
b) z₁ –z₂
c) z₁z₂

Resposta correta: c) z₁z₂.

Para encontrar a resposta correta, vamos realizar as operações apresentadas nas alternativas.

a) z₁ + z₂

$reto z com 1 subscrito espaço mais espaço reto z com 2 subscrito espaço igual a espaço parêntese esquerdo 1 espaço mais espaço 3 reto i espaço parêntese direito espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 2 espaço mais espaço reto i parêntese direito espaço reto z com 1 subscrito espaço mais espaço reto z com 2 espaço subscrito fim do subscrito igual a espaço parêntese esquerdo 1 espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito parêntese direito espaço mais espaço parêntese esquerdo 3 espaço mais espaço 1 parêntese direito reto i espaço reto z com 1 subscrito espaço mais espaço reto z com 2 subscrito espaço igual a espaço menos 1 espaço mais espaço 4 reto i$

b) z₁ -z₂

$reto z com 1 subscrito espaço menos espaço reto z com 2 espaço subscrito fim do subscrito igual a espaço parêntese esquerdo 1 espaço mais espaço 3 reto i parêntese direito espaço menos espaço parêntese esquerdo menos 2 espaço mais espaço reto i parêntese direito espaço espaço reto z com 1 subscrito espaço menos espaço reto z com 2 subscrito espaço igual a espaço parêntese esquerdo 1 espaço mais espaço 2 parêntese direito espaço mais espaço parêntese esquerdo 3 espaço menos espaço 1 parêntese direito reto i espaço espaço espaço reto z com 1 subscrito espaço menos espaço reto z com 2 subscrito espaço igual a espaço 3 espaço mais espaço 2 reto i$

c) z₁z₂

$reto z com 1 subscrito reto z com 2 subscrito espaço igual a espaço parêntese esquerdo 1 espaço mais espaço 3 reto i espaço parêntese direito parêntese esquerdo menos 2 espaço mais espaço reto i parêntese direito espaço espaço espaço reto z com 1 subscrito reto z com 2 subscrito espaço igual a espaço 1 parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito espaço mais espaço 1. reto i espaço mais 3 reto i parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito espaço mais espaço 3 reto i. reto i espaço reto z com 1 subscrito reto z com 2 subscrito espaço igual a espaço menos 2 espaço mais espaço reto i espaço menos espaço 6 reto i espaço mais espaço 3 reto i ao quadrado espaço espaço espaço reto z com 1 subscrito reto z com 2 subscrito espaço igual a espaço menos 2 espaço menos espaço 5 reto i espaço mais espaço 3 parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito espaço espaço espaço reto z com 1 subscrito reto z com 2 subscrito espaço igual a espaço menos 2 espaço menos 3 espaço menos espaço 5 reto i espaço espaço espaço reto z com 1 subscrito reto z com 2 subscrito espaço igual a espaço menos 5 espaço menos espaço 5 reto i$

Sendo assim, o resultado -5 - 5i é obtido pela multiplicado de z₁ e z₂.

Questão 4

O valor de z⁸, para z = 2 - 2i, é: (Lembre-se que i² = -1)

a) 3024
b) 4096
c) 5082
d) 1294

Resposta correta: b) 4096.

Podemos representar z⁸ como (z²)⁴, pois 2.4 = 8.

Portanto, vamos começar encontrando o valor de z².

$reto z ao quadrado espaço igual a espaço parêntese esquerdo 2 espaço menos espaço 2 reto i parêntese direito parêntese esquerdo 2 espaço menos espaço 2 reto i parêntese direito reto z ao quadrado espaço igual a espaço 2.2 espaço mais 2. parêntese esquerdo menos 2 reto i parêntese direito espaço menos 2 reto i.2 espaço menos 2 reto i. parêntese esquerdo menos 2 reto i parêntese direito reto z ao quadrado espaço igual a espaço 4 espaço menos 4 reto i espaço menos 4 reto i espaço mais espaço 4 reto i ao quadrado reto z ao quadrado espaço igual a espaço 4 espaço menos espaço 8 reto i espaço mais espaço espaço 4 reto i ao quadrado espaço reto z ao quadrado espaço igual a espaço 4 espaço menos espaço 8 reto i espaço mais espaço espaço 4 parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito vírgula espaço pois espaço reto i ao quadrado espaço igual a espaço menos 1 reto z ao quadrado espaço igual a espaço 4 espaço menos espaço 8 reto i espaço menos espaço espaço 4 z ao quadrado espaço igual a espaço menos 8 reto i$

Agora, calculamos (z²)⁴.

$parêntese esquerdo reto z ao quadrado parêntese direito à potência de 4 espaço igual a espaço parêntese esquerdo menos 8 reto i parêntese direito à potência de 4 espaço parêntese esquerdo reto z ao quadrado parêntese direito à potência de 4 espaço igual a espaço parêntese esquerdo menos 8 parêntese direito à potência de 4. parêntese esquerdo reto i parêntese direito à potência de 4 espaço parêntese esquerdo reto z ao quadrado parêntese direito à potência de 4 espaço igual a 4096. parêntese esquerdo reto i ao quadrado parêntese direito ao quadrado parêntese esquerdo reto z ao quadrado parêntese direito à potência de 4 espaço igual a 4096. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito ao quadrado parêntese esquerdo reto z ao quadrado parêntese direito à potência de 4 espaço igual a 4096.1 parêntese esquerdo reto z ao quadrado parêntese direito à potência de 4 espaço igual a 4096$

Portanto, se z = 2 - 2i então z⁸é igual a 4096.

Questão 5

Quais os valores de x que resolvem a equação do 2º grau x² + 4x + 5? (Lembre-se que i² = -1).

a) -2 + i e -2 – i
b) -1 + i e -1 – i
c) -2 + i e -1 + i
d) -1 + 2i e -1 + i

Resposta correta: a) -2 + i e -2 - i.

Para resolver a equação x² + 4x + 5 utilizaremos a fórmula de Bhaskara.

$reto x igual a espaço numerador menos reto b mais ou menos raiz quadrada de reto b ao quadrado menos 4 ac fim da raiz sobre denominador 2 reto a fim da fração$

Como a = 1, b = 4 e C = 5, temos:

$reto x igual a espaço numerador menos 4 mais ou menos raiz quadrada de 4 ao quadrado menos 4.1.5 fim da raiz sobre denominador 2.1 fim da fração reto x igual a espaço numerador menos 4 mais ou menos raiz quadrada de 16 menos 20 fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração reto x igual a espaço numerador menos 4 mais ou menos raiz quadrada de menos 4 fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração reto x igual a espaço numerador menos 4 mais ou menos raiz quadrada de 4. reto i ao quadrado fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração vírgula espaço pois espaço reto i ao quadrado igual a menos 1 espaço reto e espaço 4. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito espaço igual a espaço menos 4 reto x igual a espaço numerador menos 4 mais ou menos raiz quadrada de 4. reto i ao quadrado fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração reto x igual a numerador menos 4 mais ou menos 2 reto i sobre denominador 2 fim da fração espaço abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com reto x apóstrofo igual a numerador menos 4 mais 2 reto i sobre denominador 2 fim da fração igual a menos 2 mais reto i fim da célula linha com célula com reto x apóstrofe dupla igual a numerador menos 4 menos 2 reto i sobre denominador 2 fim da fração igual a menos 2 menos reto i fim da célula fim da tabela fecha$

Portanto, os valores de x que resolvem a equação do 2º grau x² + 4x + 5 são -2 + i e -2 - i.