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TERMODINÂMICA--EXERCÍCIOS
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em 26 de Outubro de 2023
A multiplicação de matrizes corresponde ao produto entre duas matrizes. O número de linhas da matriz é definida pela letra m e o número de colunas pela letra n.
Já as letras i e j representam os elementos presentes nas linhas e colunas respectivamente.
Exemplo: A3x3 (a matriz A possui três linhas e três colunas)
Obs: Importante ressaltar que na multiplicação de matrizes, a ordem dos elementos afeta o resultado. Ou seja, ela não é comutativa:
A . B ≠ B . A
Como multiplicar matrizes?
Para multiplicar duas matrizes devemos seguir uma ordem de operações específicas, onde cada linha da primeira matriz, multiplica todas as colunas da segunda matriz.
Multiplicamos os elementos correspondentes da linha e da coluna e somamos os produtos, assim:
1º elemento da linha x 1º da coluna + 2º elemento da linha x 2º elemento da coluna + … . O processo continua até que todos os elementos tenham sido multiplicados.
Exemplo
Multiplique a matriz A pela B, obtendo uma matriz C.
A 1ª linha da matriz A multiplica a primeira coluna da matriz B, obtendo o elemento c11.
1 . 2 + 2 . 6 = 14
Para obter o elemento c12, multiplicamos a 1ª linha de A pela 2º linha de B.
1 . 5 + 2 . 3 = 11
Como já multiplicamos a 1ª linha de A por todas as colunas de B, passamos para 2ª linha de A, que irá multiplicar cada coluna de B.
Para obter o elemento c21, multiplicamos a 2ª linha de A pela 1ª coluna de B.
3 . 2 + 4 . 6 = 30
Para obter o elemento c22, multiplicamos a 2ª linha de A pela segunda linha de B.
3 . 5 + 4 . 3 = 27
A matriz C fica assim:
De forma geral:
Sejam as matrizes e
donde,
Quando é possível multiplicar matrizes?
Para ser possível multiplicar matrizes, é primordial que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz.
A matriz C, resultado da multiplicação A . B, tem as dimensões m x p, ou seja, o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda.
Exemplo
Verificar se é possível realizar a multiplicação de matrizes abaixo e identificar quais as dimensões da matriz C, resultante da multiplicação.
É possível multiplicar, pois a possui duas colunas e B possui duas linhas.
A matriz resultante C, possuirá 3 linhas e 4 colunas.
Exemplo de Multiplicação de Matrizes
No exemplo abaixo, temos que a matriz A é do tipo 2x3 e a matriz B é do tipo 3x2. Portanto, o produto entre elas (matriz C) resultará numa matriz 2x2.
Assim, a matriz C genérica é:
Inicialmente, multiplicaremos os elementos da linha 1 de A com os da coluna 1 de B. Encontrados os produtos, somamos esses valores:
c11 = 2 . 1 + 3 . 0 + 1 . 4 = 6
Por conseguinte, multiplicaremos e somar os elementos da linha 1 de A com a coluna 2 de B:
c12 = 2 . (-2) + 3 . 5 + 1 . 1 = 12
Depois disso, passaremos para a linha 2 de A e multiplicar e somar com a coluna 1 de B:
c21 = (-1) . 1 + 0 . 0 + 2 . 4 = 7
Ainda na linha 2 de A, multiplicaremos e somar com a coluna 2 de B:
c22 = (-1) . (-2) + 0 . 5 + 2 . 1 = 4
Por fim, temos que a multiplicação de A . B é:
Multiplicação de um Número Real por uma Matriz
No caso de multiplicar um número real por uma matriz, deve-se multiplicar cada elemento da matriz por esse número:
Matriz identidade
Matriz identidade é a matriz quadrada de ordem n (2x2, 3x3, 4x4, ... nxn), em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e, o restante dos elementos são iguais a 0.
Exemplos de matriz identidade de ordens 2 e 3.
Matriz Inversa
A matriz inversa é um tipo de matriz que utiliza a propriedade da multiplicação:
A . B = B . A = In (quando a matriz B é inversa da matriz A)
Uma matriz multiplicada por sua inversa é igual a matriz identidade.
Note que a matriz inversa de A é representada por A-1.
Exercícios de multiplicação de matrizes
(PUC-RS) Sendo
e C = A . B, o elemento C33 da matriz C é:
a) 9
b) 0
c) -4
d) -8
e) -12
(UF-AM) Sendo
e AX = 2B. Então a matriz X é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
(PUC-MG) Considere as matrizes de elementos reais
Sabendo-se que A . B = C, pode-se afirmar que a soma dos elementos de A é:
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13