Considere a caixa de dimensões x, y, z, com x>0, y>0, z>0, devido a que a caixa está inscrita numa esfera de raio a (a>0), então temos a seguinte igualdade:
x^2 + y^2 + z^2 = 4a^2
Dado que o volume da caixa é: xyz, então considere a função:
F(x,y,z,t) = xyz - t(x^2 + y^2 + z^2 - 4a^2)
Achamos os pontos críticos de F:
Fx = yz - 2 tx = 0
Fy = xz - 2 ty = 0
Fz = xy - 2 tz = 0
Ft = 4a^2 - x^2 - y^2 - z^2 = 0
Resolvendo as igualdades anteriores temos que a única opção é:
x = y = z = 2a/(raiz de 3), t = a/(raiz de 3)
Afirmação: o valor de x = 2a/(raiz de 3) é o ponto máximo da função volume da caixa
De fato, a função volume é V(x) = x^3 e considere o ponto crítico x = 2a/(raiz de 3)
Derivando duas vezes a função volume:
V' = 3x^2
V'' = 6x
Note que
V'' (2a/(raiz de 3) )= 12a/(raiz de 3) > 0
Portanto, o valor x = 2a/(raiz de 3) atinge o máximo da função volume.
