Calcule os seguintes limites:

Olá Sampaio. a) Lembre que lim sen(x) / x = 1 limite fundamental x->0 sen(ax)/bx= sen(ax)/(ax.b/a) = a/b.sen(ax)/(ax). Seja ax=u Mas lim sen(u) / u = 1, limite fundamental u->0 pois quando x->0 u->0 Então lim sen(ax)/bx = a/b x->0 b) Dividindo-se os dois lados por x, pois x<>0 sen(3x)/sen(5x)= [sen(3x)/x]/[sen(5x)/x] Mas, lim sen(3x)/x = 3 pois Se 3x=u sen(3x)/(3x/3) = 3.sen(u)/u x->0 lim sen(5x)/x = 5 pois Se 5x=u sen(5x)/(5x/5) = 5.sen(u)/u x->0 Então Lim [sen(3x)/x]/[sen(5x)/x] = 3/5 x->0 c) Se for cos x - cos a = -2[sen (x + a)/2 ][sen (x - a)/2 ] e que lim sen(x) / x = 1, limite fundamental x->0 Dai tem-se: lim [ (cos x - cos a) / (x - a) ] = x->a lim [ (-2[sen (x + a)/2 ][sen (x - a)/2 ] / (x - a) ] = x->a lim [ ( - [sen (x + a)/2 ] . lim [sen (x - a)/2 ] / [(x - a)/2] ]. x->a Agora, lim [sen (x - a)/2 ] / [(x - a)/2] = 1, pois é o limite fundamental. x->a. Assim, lim [ ( - [sen (x + a)/2 ] . lim [sen (x - a)/2 ] / [(x - a)/2] ] = x->a lim [ ( - [sen (x + a)/2 ] . 1 = x->a lim [ ( - [sen (x + a)/2 ] = x->a lim [ ( - [sen (x + a)/2 ] = x->a = - sen (a + a)/2 = -sen (2a)/2 = - sen (a), como queríamos!!! Bons estudos!!!