Dada a função:
Indique os intervalos de crescimento e decrescimento os pontos críticos de máximo e minimo, os intervalos onde a concavidade e voltado para cima e os em que ela é voltada para baixo como os pontos de inflexão e as assíntotas, caso existam. Feito isso, esboce o grafico de h(x).
Olá! Vamos começar?
O domínio da função é o conjunto dos números reais exceto x = 0. Vamos encontrar o que se pede por partes:
Essa função não possui raíz real, pois fazendo , tem- se que:
. Logo não existe x para que isso ocorra.
1) Intervalos de Crescimento/Descrescimento
Derivando a função, usando a regra do quociente, temos que:
Igualando a zero, temos:
logo, x = 1 é um ponto crítico.
Vamos pegar um valor menor que 1 e outro maior do que 1, e estudar o sinal da derivada nesses pontos.
Logo os intervalos são: (Descrescente) e
(Crescente)
2) Pontos Críticos de máximo e mínimo
Para descobrir se o ponto crítico é máximo ou mínimo, resta substituir na função original.
Logo é um ponto de mínimo local
3) Pontos de inflexão e Concavidades
Para encontrar tais pontos, deve-se calcular a segunda derivada:
igualando a zero temos:
Que não possui raíz real. Logo não há ponto de inflexão.
4) Assíntotas
- Assíntota Vertical
Aplicando o limite para o ponto , temos
-Assíntota Horizontal
Aplicando-se limite quando :
Aplicou-se A regra de L'hospital para resolver os dois últimos limites
Fiz o grafico utilizando o Wolfram: Gráfico
digite na caixa de texto do site: e^x/x
