Determine as equações paramétricas da reta tangente no ponto (-2,2,4) à curva de intersecção da superfície z=2x²-y² com plano z=4. Dúvida nessa questão.
Determine as equações paramétricas da reta tangente no ponto (-2,2,4) à curva de intersecção da superfície z=2x²-y² com plano z=4. Dúvida nessa questão.
Solução.
Calculamos a curva de intersecção da superfície z=2x²-y² com plano z=4:
4 = 2x² - y²
1 = x²/2 - y²/4
Obtemos uma hipérbole com centro na origem.
Calculamos a pendiente m da reta tangente, derivando implicitamente a equação da hipérbole anterior:
0 = -x - (ym)/2
m = -(2x)/(y)
Substituindo o ponto (-2,2)
m = -2(-2)/2 = 2
Logo a equação geral da reta tangente é:
y - 2 = m (x +2)
y - 2 = 2 (x + 2)
(y - 2)/2 = (x +2)/1 = t
Portanto as equações paramétricas da reta tangente são:
x = t - 2
y = 2t + 2
z = 4
onde t é um número real qualquera.
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Bem, sabemos que o vetor tangente é ortogonal ao vetor gradiente. Por isso, calculamos os vetores gradientes de cada função (z=2x²-y²) e (z=4).
Os gradientes (derivadas parciais) são respectivamente (4x,-2y,-1) e (0,0,-1). Para achar o vetor tangente, basta calcular o produto vetorial entre eles.
O resultado do produto vetorial será 4i-8j+0k. Logo:
x=-1+4t
y=2-8t
z=4
