Calculo 2 variação maxima

A densidade de uma distribuição de massa varia em relação a uma origem dada segundo à fórmula

rho = 4 / raiz(x²+y²+2)

• Determine a razão de variação da densidade no ponto (1, 2) na direção que forma um ângulo de 45º,no sentido anti-horário, com eixo positivo dos x.
• Em que direção a razão de variação é máxima?

Solução.

No ponto (1,2):

rho(1,2) = 4/ raiz(1+4+4) = 4/ raiz(9) = 4/3

Primeramente, calculamos o gradiente de rho:

drho/dx = - (x* rho³(x,y) ) /16

drho/dy = - (y* rho³(x,y) )/16

Então:

Grad(rho)(x,y) = (- (x* rho³(x,y) ) /16,  - (y* rho³(x,y) )/16 )

Logo no ponto (1,2):

G = Grad(rho)(1,2) = (- 4/27,  - 8/27 )

1. Razão de variação da densidade no ponto (1, 2) na direção que forma um ângulo de 45º,no sentido anti-horário, com eixo positivo dos x.

Seja u o vetor que forma um ângulo de 45º,no sentido anti-horário, com eixo X positivo:

u = (cos(45°), sin(45°) ) = (raiz(2)/2, raiz(2)/2)

Logo:

D rho_{u} (1,2) = G * (raiz(2)/2, raiz(2)/2) = (- 4/27,  - 8/27 ) (raiz(2)/2, raiz(2)/2) = -2raiz(2)/27 - 4raiz(2)/27

D rho_{u} (1,2) =-6raiz(2)/27 = -2raiz(2)/9

Resposta: A razão de variação da densidade no ponto (1, 2) na direção u é -2*raiz(2)/9

2. Em que direção a razão de variação é máxima?

Seja u o vetor unitario no sentido de G:

|G| = raiz( (-4/27)²+ (-8/27)² ) = raiz( 16/729 + 64/729 ) = raiz( 80/729 ) =4*raiz(5)/27

Logo

u = G/|G| = (- 4/27,  - 8/27 ) / (4*raiz(5)/27) = ( -raiz(5)/5, 2*raiz(5)/5 )

Resposta: A razão de variação é máxima na direção ( -raiz(5)/5, 2*raiz(5)/5 ).

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