Usando caminhos mostre que o seguinte limite não existe
Muito simples.
Se você se aproximar por 0 com no 1o quadrante (x e y positivos). O resultado vai ser claramente +infinito (numerador e denominador positivos e o denominador é muito menor que o numerador por estar ao quadrado).
Já no 2o quadrante com x negativo e y positivo. O resultado vai ser -infinito (numerador negativo com denominador positivo (ao quadrado deixa positivo)).
Logo, quando se aproxima de um lado é -infinito e do outro é +infinito. Logo esse limite está divergindo.
Matematicamente podemos dizer por L'Hospital que
Lim 3xy/4x²+5y² = Lim d²(3xy/4x²+5y²)/dxdy
Lim 3/8x+10y.
Então é só fazer a análise com os pontos (x,y) = (0+, 0+) depois com (0-, 0+), (0+, 0-) e (0-, 0-).
Em 2 casos dá + infinito e em outros 2 dá -infinito.
Seja a função
Considere os seguintes caminhos
Logo o seguinte limite pode-se calcular usando o primeiro caminho
Usando o segundo caminho
Segue-se que não existe o limite devido a que para os caminhos apresentados os resultados são distintos.
