Para calcular a derivada direcional devemos multiplicar o vetor gradiente da função no ponto requerido pelo vetor unitário direcional u.
Du(f) = grad(f)(P).u ...(1)
Nesse caso, o vetor direcional é: v = (2-(-1),5-4) = (3,1)
dividendo pelo módulo:
u = v/|v| = (3,1)/sqrt(10) ...(2)
Calculamos a gradiente: grad(f) = (df/dx,df/dy) .....(as derivadas são parciais)
df(x,y)/dx = 2y.(2x)/(x²+y²) = 4xy/(x²+y²)
df(x,y)/dy = 2y.(2y)/(x²+y²) + 2.Ln(x²+y²) = 4y²/(x²+y²) + 2Ln(x²+y²)
Substituímos as coordenadas do ponto P = (-1,4) e obtemos a gradiente de f no ponto P:
grad(f)(P) = (-16/17, 64/17+2Ln(17))
Assim, só resta multiplicar o vetor gradiente no ponto P pelo vetor unitário u mostrado em (2):
Du(f) = grad(f)(P).u = (-16/17, 64/17+2Ln(17)). (3,1)/sqrt(10) = [1/sqrt(10)]*(16/17 + 2Ln17).
