Tenho dúvida nessa função, z=f(x,y) x^2-z^2-2z=0
Por ela ser f(x,y) creio que o dominio seja R2 e a imagem R, mesmo tendo o Z envolvido, mas não sei como operacionar com uma função assim, não entendo o motivo de não ter Y e ter o Z em uma função R2 [f(x,y)], e também não sei o motivo de ter o "=0" no final dessa função, preciso realizar o calculo de vetor gradiente nela, mas não sei se derivo parcialmente por X e Z, ou por X e Y, caso consigam me dar uma ajuda eu agradeço muito.
Vamos por partes para entendermos mais sobre essa função Luis:
A função f(x,y) = x^2 - z^2 - 2z = 0 é uma equação implícita que relaciona as variáveis x, y e z. A ausência da variável y na equação pode ocorrer por diferentes motivos, como por exemplo, por ela não ter um papel direto na equação, ou por ter sido eliminada a partir de alguma simplificação ou substituição.
No caso dessa função, a variável y não aparece diretamente na equação, mas isso não significa que ela não afete a função. Os valores de y ainda podem influenciar na solução da equação e nos valores de z correspondentes para cada par de valores (x,y).
Portanto, mesmo que a função não tenha a variável y explicitamente na equação, ela ainda é uma variável relevante para o problema em questão e pode afetar a solução. As variáveis independentes são x e y, que podem assumir qualquer valor dentro do domínio da função. A variável z, por outro lado, é a variável dependente e seu valor é determinado pela equação.
Ao resolver a equação para z, obtemos:
Se você observar o gráfico da equação anexado no link vai perceber que de fato ela tem duas folhas, que são geradas numericamente pela possibilidade da raiz se separar em valor negativo e positivo.
Gráfico da equação
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