(a)
Para resolver a equação |z + 1/z| = a e relacioná-la com |z|^2, podemos utilizar as propriedades da conjugação complexa.
Vamos começar considerando o lado esquerdo da equação: |z + 1/z| = a
Elevando ambos os lados ao quadrado, temos: (|z + 1/z|)^2 = a^2
Expandindo o quadrado do módulo, obtemos: (z + 1/z)(conjugado(z + 1/z)) = a^2
Agora, vamos expandir essa expressão usando as propriedades da conjugação complexa: (z + 1/z)(conjugado(z) + conjugado(1/z)) = a^2
Distribuindo os termos, temos: zconjugado(z) + zconjugado(1/z) + 1/zconjugado(z) + 1/zconjugado(1/z) = a^2
Agora, vamos simplificar alguns termos usando a propriedade do conjugado: conjugado(1/z) = 1/conjugado(z)
Substituindo essa relação, a expressão se torna: zconjugado(z) + z(1/conjugado(z)) + 1/zconjugado(z) + 1/z(1/conjugado(z)) = a^2
Simplificando os termos, obtemos: |z|^2 + 2 + 1/|z|^2 = a^2
Multiplicando ambos os lados por |z|^2, temos: (|z|^2)^2 + 2|z|^2 + 1 = a^2 * |z|^2
Reorganizando a equação, obtemos: (|z|^2)^2 - |z|^2 * (a^2 + 2) + 1 = - (z + conjugado(z))^2
Portanto, os valores de |z|^2 podem ser obtidos por intermédio da resolução da equação: (|z|^2)^2 - |z|^2 * (a^2 + 2) + 1 = - (z + conjugado(z))^2.
(b)
Para a existência de valores de |z|^2 que satisfaçam a equação:
(|z|^2)^2 - |z|^2 * (a^2 + 2) + 1 = - (z + conjugado(z))^2
Podemos analisar a equação e deduzir algumas condições que devem ser satisfeitas por z em termos de suas partes Real e Imaginária.
Vamos considerar a parte à direita da equação, -(z + conjugado(z))^2. Expandindo essa expressão, temos:
-(z + conjugado(z))^2 = -(z^2 + 2z*conjugado(z) + (conjugado(z))^2)
Observe que z*conjugado(z) é um número real não negativo, uma vez que é o produto de um número complexo pelo seu conjugado. Portanto, podemos reescrever a equação acima como:
-(z + conjugado(z))^2 = -(z^2 + 2Re(z*conjugado(z)) + (conjugado(z))^2)
Agora, voltando à equação original:
(|z|^2)^2 - |z|^2 * (a^2 + 2) + 1 = - (z + conjugado(z))^2
Substituímos a expressão para -(z + conjugado(z))^2 e obtemos:
(|z|^2)^2 - |z|^2 * (a^2 + 2) + 1 = -(z^2 + 2Re(z*conjugado(z)) + (conjugado(z))^2)
Simplificando a equação, temos:
(|z|^2)^2 - |z|^2 * (a^2 + 2) + 1 + z^2 + 2Re(z*conjugado(z)) + (conjugado(z))^2 = 0
Agora, podemos combinar os termos com z^2 e (conjugado(z))^2:
(|z|^2 + 1) ^2 + 2Re(z*conjugado(z)) - |z|^2 * (a^2 + 2) = 0
Portanto, para que existam valores de |z|^2 que satisfaçam essa equação, a expressão dentro dos parênteses deve ser igual a zero:
(|z|^2 + 1) ^2 + 2Re(z*conjugado(z)) - |z|^2 * (a^2 + 2) = 0
Isso implica que, para a existência de valores de |z|^2 que satisfaçam a equação, a expressão acima deve ser verdadeira para todas as partes Real e Imaginária de z.
