Questão: As trajetórias dos aviões A e B são representadas em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy. A trajetória do avião A, que voa à velocidade de 8 km/h, está sobre o eixo Oy, no sentido descendente: em cada instante t, sua trajetória é representada por (0, y(t)). A trajetória do avião B, que voa à velocidade de 10 km/min, está sobre o eixo Ox, da esquerda para a direita: em cada instante t, sua trajetória é representada por (x(t), 0). No instante inicial, t = 0, o avião A se encontra no ponto (0, 64) e o avião B, na origem do sistema de coordenadas.
A partir dessas informações, faça o que se pede nos itens de I a IV a seguir.
I Determine as expressões algébricas das funções y(t) e x(t).
II Determine a expressão d(t) da distância entre as posições dos aviões A e B no instante t e calcule d' (3) .
III Determine os pontos críticos da função d(t) e explique por que essa função tem apenas um ponto de mínimo.
IV Calcule lim d' (t) (t->∞).
Obrigado.
A ideia que o professor Marcos usou está correta, mas alguns erros de cálculo levaram a resultados errados. Na verdade, as velocidades dos aviões foram trocadas nas expressões para x(t) e y(t). As expressões corretas são
x(t) = 10t
y(t) = 64 - 8t
O que leva às seguintes mudanças em d e d':
d(t) = (164t^2- 1024t+4096)^(1/2)
d'(t) = 1/2.(164t^2 - 1024t+4096)^(-1/2).( 328.t - 1024)
A expressão para d' pode ser simplificada para o calculo de d'(3) se percebermos que o denominador é a própria função d(t):
d'(t) = (1/2)( 328t - 1024)/d(t) = (164t - 512)/d(t). Logo,
d'(3) = -20/d(3).
Pelas descrições de x(t) e y(t), a posição dos aviões aos 3 segundos correspondem a 30 e 40 unidades de comprimento, sendo a distância entre eles, pelo teorema de pitágoras, igual a 50. Portanto
d'(3) = -20/50 = -2/5
O ponto de mínimo é obtido por d'(t) = 0, o que resultará t = 512/164 = 128/41. Explicar a quantidade de pontos mínimos é forçar um pouco a barra; tem 1 ponto de mínimo, e pronto. Do ponto de vista físico, eu diria que o fato de os aviões seguirem em linhas retas e em movimentos uniformes a 90º entre si faz com que, após a máxima aproximação, seu movimento seja sempre no sentido que os afasta, de modo a não haver outro ponto de mínimo num tempo posterior.
O limite em que t vai a infinito não pode ser calculado por l'Hospital, pois a função d(t) irá sucessivamente reaparecer. Em vez disso, e até mais simples: basta dividir por t o numerador e o denominador. Desta forma, após o cálculo do limite de cada termo que irá aparecer, restará apenas a fração 164/ 164^(1/2) = 164^(1/2). A interpretação desse fato (mais interessante do que a da quantidade de pontos mínimos, na minha opinião), é a seguinte: Quanto t vai a infinito, a distância entre os aviões é tão grande que já não importa mais o fator constante 64 somado a y(t), mas apenas as velocidades multiplicadas pelo tempo (que vai a infinito). Desta forma, aproxima-se essa situação à de um triângulo com lados 8t e 10t, os quais aumentam com o tempo. Pelo teorema de pitágoras, a hipotenusa deste triângulo (correspondente a distância d(t)) vale 164^(1/2)t . Sua taxa de variação, nessa situação limítrofe de tempo decorrido muito longo, corresponderá ao 164^(1/2) encontrado anteriormente.
