Boa tarde Shmuel
Determine as dimensões do paralelepípedo retângulo de volume máximo e faces paralelas aos planos coordenados que pode ser inscrito no elipsóide 16x^2+4y^2+9z^2=144.
Primeiro lembre-se que a equação de um elipsóide é , dessa forma, rearrumando o elipsóide dado, temos:
, onde a= 3, b=6 e c=4. Imagine os seguintes pontos (x,y, z) e (-x,y,z), (x,y, -z) e (-x,y, -z), (x,-y, -z) e (-x,-y,- z), (x,-y, z) e (-x,-y, z) , que seriam os vértices do seu paralelepípedo. Assim, o volume seria
. Note que seu problema é identificar (x,y,z). Como o centro do elipsóide é a origem, o paralelepípedo deve ter o mesmo volume em cada octante. Assim, em um octante, temos:
...
Para ver o restante seria melhor agendar uma tarefa.
Vamos dizer que o ponto é um dos vértices do paralelepípedo. Automaticamente, ficam determinados os outros 7 vértices:
,
,
, e assim por diante. Portanto, as dimensões do paralelepípedo são
, ou seja, seu volume é
. Agora o problema se reduz a maximizarmos a função
sujeita ao vínculo
. Isso é mais facilmente resolvido com o método dos multiplicadores de Lagrange. Definimos então a lagrangiana
,
e impomos as condições de maximização , o que nos leva ao seguinte sistema de equações:
Resolvendo o sistema e assumindo sem perda de generalidade que ,
e
são positivos, você vai encontrar (se eu não errei nenhuma conta):
.
Logo, as dimensões do paralelepípedo são .
