Olá Mariana,
Vamos à resolução!
a) para estender a função com o objetivo de criar uma função ímpar, vc precisa considerar a relação:
f(x) = -f(-x)
Neste caso, a função f(x) = { 1, 0 < x < =1 e 2-x, 1 < x <= 3 vai se transformar em -f(-x) = { -1, -1 < x < 0 e -2-x, -3 <= x < -1, de modo que a função ímpar com período 6 será
g(x) = { -2-x para -2 < x <= -1, -1 para -1 < x <= 0, 1 para 0 < x < =1 e 2-x para 1 < x <= 3 }
Estendendo de -12 à 12, vc vai ter um gráfico dessa forma
Gráfico
b) Se o intervalo é 6, então o L da fórmula da série de Fourier será 3. Na tal fórmula, vc precisa calcular a0, an e bn, os quais são calculados a partir de algumas integrais que vc já deve estar ciente. Para a0, teremos
a0 = (1/L) integral_{-L}^{L} [ g(x) ]dx
Lembrando que a integral de função ímpar em intervalo simétrico é nulo, o resultado de a0 será nulo.
a0 = 0
Calcula an:
an = (1/L) integral_{-L}^{L} [ g(x)*cos(n*pi*x/L) ]dx
= (1/3) integral_{-3}^{-1} [ (-x-2)*cos(n*pi*x/3) ]dx (1º)
+ (1/3) integral_{-1}^{0} [ -1*cos(n*pi*x/3) ]dx (2º)
+ (1/3) integral_{0}^{1} [ 1*cos(n*pi*x/3) ]dx (3º)
+ (1/3) integral_{1}^{3} [ (2-x)*cos(n*pi*x/3) ]dx (4º)
As integrais resultam em
1º = (2 Cos[(2 n Pi)/3] (n Pi Cos[(n Pi)/3] - 3 Sin[(n Pi)/3]))/(n^2 Pi^2)
2º = -(Sin[(n Pi)/3]/(n Pi))
3º = Sin[(n Pi)/3]/(n Pi)
4º = (-2 (n Pi Cos[(n Pi)/3] - 3 Sin[(n Pi)/3]) Sin[(2 n Pi)/3])/(n^2 Pi^2)
O resultado final fica
an = 2 [Cos(2 n Pi/3)-Sen(2 n Pi/3)] [n Pi Cos(n Pi/3) - 3 Sin(n Pi/3)]/(n^2 Pi^2)
Para o cálculo de bn, o procedimento é similar, bastando trocar cos por sen na integral:
bn = (1/L) integral_{-L}^{L} [ g(x)*sen(n*pi*x/L) ]dx
Após resolver a integral e encontrar a expressão de bn, é comum tentar se livrar dos senos e cossenos. Mas isto demanda uma análise que seria difícil realizar por aqui, onde a forma de escrever as equações é muito limitada.
A dica é variar os valores de n e ir analisando os valores de an e bn. Por exemplo, se para um função da forma:
h = sen(n*pi) + 1,
teríamos
h = 1 para n par
h = 0 para n ímpar
Assim, a séria de Fourier poderia ser escrita sem a necessidade do seno.
Contudo, no seu caso, os resultados de an e bn são mais complexos e conseguir sumir com os senos e cossenos será bem difícil.
Por fim, na letra c) é só substituir os valores de x na seria de fourier (não é naquelas integrais) e calcular tentando simplicar ao máximo.
Por enquanto é isso.
Até e bons estudos!
