1) Demonstre as identidades trigonométricas:
a) (tg x- sinx)^2 + ( 1 - cosx)^2 = (secx - 1)^2
b) cossec^2x . tgx = cotgx . sec^2x
c) sec^2x . cossec^2x = sec^2x + cossec^2x
1) Demonstre as identidades trigonométricas:
a) (tg x- sinx)2 + ( 1 - cosx)2 = (secx - 1)2
b) cossec2x . tgx = cotgx . sec2x
c) sec2x . cossec2x = sec2x + cossec2x
Solução.
a) (tg x- sinx)2 + ( 1 - cosx)2 = (secx - 1)2
De fato:
E = (tg x- sinx)2 + ( 1 - cosx)2
E = tg2x - 2tgx sinx + sin2x + 1 - 2cosx + cos2x
E = (tg2x +1 ) - 2sin2x/cos x - 2cosx + (sin2x + cos2x )
E = sec2x - 2(sin2x+cos2x)/cosx + 1
E = sec2x - 2/cosx + 1
E = sec2x - 2secx + 1
E = (secx-1)2
b) cossec2x . tgx = cotgx . sec2x
De fato:
F = cossec2x . tgx
F = (1/sin2x) (sinx / cosx)
F = 1/(sin x cos x)
F = (cos x)/(sin x cos2x)
F = (cos x / sin x) (1/cos2x)
F = cotgx . sec2x
c) sec2x . cossec2x = sec2x + cossec2x
De fato:
G = sec2x . cossec2x
G = (1/cos2x) (1/sin2x)
G = 1/(cos2x sin2x)
G = (sin2x + cos2x) / (cos2x sin2x)
G = (sin2x) / (cos2x sin2x)+ (cos2x) / (cos2x sin2x)
G = 1/cos2x + 1/sin2x
G = sec2x + cossec2x
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