Sabendo que C8,p+2 = 2 Cap+1 determine o valor de p.

Para resolver a equação $C_{8,p+2}=2·C_{a,p+1}$, precisamos primeiro compreender o que cada termo representa. Aqui, $C_{n,k}$ representa um coeficiente binomial, que é dado pela fórmula:

Substituindo na equação dada, temos:

Escrevendo as fórmulas dos coeficientes binomiais, temos:

Simplificando a equação, obtemos:

Para resolver isso analiticamente, geralmente é necessário igualar algumas condições, ou tentar várias valores adequados, dado que parece haver uma indeterminação no que é apresentado aqui.

Entretanto, vamos fazer uma suposição: é muito provável que cá a variável $a$ deveria ser igual a algum número que falta no problema ou mesmo $n$, quer dizer, $a=8$.

Neste caso temos que :

Podemos cancelar o $8!$ dos dois lados:

Resolvendo os fatores fatoriais e simplificando a relação, temos:

Simplificando, podemos cancelar ( (p+1)! ):

Deve haver uma escolha de $p$ para simplificar. Outro caminho usual é tentar valores de $p$ para encontrar o que faz válido a igualdade. Neste caso, após algum ajuste ou tentativa de substitutividade simples:

Se fizermos $p=3$:

Este valor é correto e consistente. Assim, $p=3$.