Resumo da abordagem e resultado principal - Modelei a placa como uma lâmina simétrica espessa (espessura total = 2L) com resfriamento por convecção em ambas as faces. - Usei as propriedades fornecidas (ρ = 80 kg/m3, k = 0,87 W/m·K, Cp = 2100 J/kg·K) e estimei o coeficiente convectivo h para ar a 4 m/s sobre a placa com correlação de chapa plana: h ≈ 26 W/m2·K. - Resolvi a equação transiente unidimensional por aproximação de 1 termo (primeiro modo eigen) para lâmina com faces convectivas (método padrão usado com gráficos de Heisler / solução por autovalores). - Resultado: espessuras (aproximadas) para que a temperatura média da placa atinja −34 °C em cada tempo: a) 20 min → espessura ≈ 0,25 m (25 cm) b) 40 min → espessura ≈ 0,40 m (40 cm) c) 60 min → espessura ≈ 0,52 m (52 cm)
Condição de qualidade (temperatura não menor que −51 °C) - Para as espessuras acima, calculei também a temperatura na superfície após o tempo respectivo (o ponto mais frio será a superfície): a) t = 20 min, 2L ≈ 0,25 m → Ts ≈ −67 °C b) t = 40 min, 2L ≈ 0,40 m → Ts ≈ −74 °C c) t = 60 min, 2L ≈ 0,52 m → Ts ≈ −77 °C - Todas as temperaturas de superfície ficam muito abaixo de −51 °C. Portanto, com ar a −90 °C e h ≈ 26 W/m2·K, NÃO é possível (com as condições dadas) atingir temperatura média −34 °C nos tempos pedidos sem que alguma região da placa (as superfícies) fique abaixo de −51 °C. Ou seja, as duas exigências são incompatíveis nas condições indicadas.
Breve descrição dos cálculos (método) 1) Propriedades e difusividade: α = k/(ρ Cp) = 0,87 / (80·2100) ≈ 5,18·10−6 m2/s. 2) Estimativa de h (fluxo forçado sobre placa, Lc ≈ 0,2 m): Re ≈ U L / ν ⇒ usei correlação plana ⇒ h ≈ 26 W/m2·K (ordem de grandeza típica para 4 m/s). 3) Solução aproximada de 1 termo (lâmina simétrica): - autovalor μ1 obtido da equação μ tan μ = Bi, com Bi = h·L/k (L = meia‑espessura). - coeficiente modal C1 = 4 sin μ1 / (2μ1 + sin 2μ1). - temperatura média (adimensional) ≈ C1·(sin μ1 / μ1) · exp(−μ1^2·Fo), com Fo = α t / L^2. - resolvi numericamente para L de modo a obter a temperatura média desejada (θavg = (Tavg − T∞)/(Ti − T∞) com T∞ = −90 °C, Ti = 21 °C, Tavg = −34 °C ⇒ θavg ≈ 0,5045). - em seguida calculei θsurf ≈ C1·cos μ1 · exp(−μ1^2·Fo) e converti para Ts. - iterações numéricas forneceram os valores apresentados acima.
Observações e recomendações práticas - A estimativa de h (26 W/m2·K) é importante: se h fosse substancialmente menor (ar mais lento ou barreira ao escoamento), as superfícies seriam menos frias e talvez fosse possível atender à restrição de −51 °C; mas com o ar a −90 °C e velocidade dada, o arrasto térmico na superfície tende a levar a superfície muito abaixo de −51 °C. - Para atender à restrição "nenhuma parte abaixo de −51 °C" mantendo a média em −34 °C nos tempos pedidos, é necessário alterar as condições de processo, por exemplo: - usar ar de temperatura menos baixa (por exemplo −60 … −70 °C em vez de −90 °C); - reduzir h (reduzir velocidade do ar ou colocar uma camada de resistência convectiva/isolamento); - pré‑aquecimento intermitente ou controle de recinto que evite resfriamento excessivo das superfícies; - controle do ciclo de resfriamento (tempo maior com ar menos frio). - Se desejar, posso: - refazer os cálculos usando outro valor de h (se tiver um valor medido ou outra suposição), - fornecer os detalhes numéricos das iterações (valores de μ, Bi, Fo, C1 usados), - calcular a máxima espessura que mantém a superfície ≥ −51 °C após cada tempo e mostrar que, para essa espessura, a média será (maior) — i.e. não atingirá −34 °C.
Quer que eu apresente os detalhes numéricos das iterações (μ, Bi, Fo, C1) ou refaça com outro h?
