Considere as seguintes afirmações:
1 - Se os vetores não nulos U, V e W são LD, então W é uma combinação linear de U e V.
2- A interseção de dois subespaços é sempre um subespaço.
3- Se V e W são vetores de Rn, o conjunto formado pelos vetores da forma aV bW, a e b escalares, é um subespaço.
4 - Se V é ortogonal a W, então V é ortogonal a xW, para todo escalar x.
Assinale a alternativa correta.
a) Apenas as afirmações 1 e 2 estão corretas.
b)Apenas as afirmações 1, 2 e 3 estão corretas.
c) Apenas as afirmações 2, 3 e 4 estão corretas.
d)Todas as afirmações estão corretas.
e)Nenhuma afirmação está correta.
Boa tarde, Jessica!! Espero que a resposta abaixo esclareça as suas dúvidas.
Comentários sobre as afirmações
1 - Se os vetores não nulos U, V e W são LD, então W é uma combinação linear de U e V.
Tomando a combinação linear de vetores, por exemplo u1, u2, u3, ..., un. Então, temos:
u1 + u2 + u3 + ... + un = 0 => u + v + w = 0 => w = - u - v
Portanto, o vetor w é uma combinação dos vetores u e v, de tal forma que para a equação:
w = (alfa1)*u + (alfa2)*v => alfa1 = alfa2 = -1
[CORRETO]
Observação: Dentre as alternativas que podem estar corretas estão: a) ou b) ou d).
A alternativa c) não contempla a afirmação 1 como correta. E a alternativa e) descreve todas as alternativas incorretas.
Vamos analisar a afirmação 3.
3 - Se V e W são vetores de Rn, o conjunto formado pelos vetores da forma aV bW, a e b escalares, é um subespaço.
Antes de começar a resolver o exercício, é preciso fazer uma consideração: acredito que na afirmação acima, no trecho "vetores da forma aV bW" esteja faltando um símbolo e, então, a afirmação correta pode ser: "vetores da forma aV + bW".
Uma alternativa para a correção da afirmação também pode ser: "vetores da forma aV, bW", ou seja, são vetores V e W, cada um multiplicado por escalar.
Considerando a correção, seguimos os comentários da resolução desta afirmação.
Um conjunto X será um subespaço vetorial de Rn se:
i) Para quaisquer aV, bW ? X tivermos aV + bW ? X
ii) Para quaisquer alfa ? R, aV, bW ? X tivermos alfa*(aV) ? X, ou alfa*(bW) ? X
As duas condições acima são confirmadas (é possível fazer essa verificação). Portanto, o conjunto formado pelos vetores da forma aV bW, a e b escalares, é um subespaço.
[CORRETO]
Observação2: Agora, dentre as alternativas que podem estar corretas estão: a) ou d).
A alternativa b) não contempla a afirmação 3 como correta. Estão já eliminadas, por exclusão as alternativas c) e e).
Vamos analisar a afirmação 4.
4 - Se V é ortogonal a W, então V é ortogonal a xW, para todo escalar x.
Considere o símbolo ? designando ortogonalidade.
Como V ? W, então tem-se a propriedade:
ii) V ? W implica W ? V.
Então, tem-se também a propriedade:
v) Se W ? V e ? é um escalar, então ?W ? V.
Lembrando que:
i) 0 ? V para todo V.
Logo:
ii) 0 ? V implica V ? 0. (Isso pode acontecer para x = 0)
Portanto, se V é ortogonal a W, então V é ortogonal a xW, para todo escalar x.
[CORRETO]
Observação3: Como as afirmações 1, 3 e 4 estão corretas. A única alternativa a ser marcada será d) Todas as afirmações estão corretas.
A afirmação 2 também está correta, apesar de não ter sido analisada e comentada!
Um subconjunto B será um subespaço vetorial A se:
i) Para quaisquer u, v ? B tivermos u + v ? B
ii) Para quaisquer alfa ? R, u ? B tivermos alfa*u ? B
