Caro Nathan, Para fazer a mudança na ordem da integral é preciso desenhar o gráfico dos intervalos de itegração para determinar assim a região de integração e os novos limites. Os limites de integração são:
0 <= x <= 4 e √x <= Y <= 2
A partir do gráfico é possível determinar os novos limites que são:
0 <= x <= y2 e 0 <= Y <= 2
E a integral fica então ∫02 ∫0y^2 cos(y) dx . dy que resolvendo fica
∫02 cos(y) ∫0y^2dx . dy = ∫02 cos(y) . x Ι0y^2 .dy = ∫02 cos(y) . Y2 dy
Agora fazendo : u = y2 e dv = cos(y)dy
du = 2ydy e v = sen(y)
como ∫u.dv = u.v - ∫v.du temos: ∫02 cos(y) . Y2 dy = Y2. sen(y)Ι02 - ∫02 2.y.sen(y) dy
∫02 cos(y) . Y2 dy = Y2. sen(y) - ∫02 2.y.sen(y) dy
Agora fazendo : u = 2y e dv = sen(y)dy
du = 2dy e v = -cos(y) => ∫02 2.y.sen(y) dy = -2y.cos(y)Ι02 + ∫02 2.cos(y) dy
∫02 cos(y) . Y2 dy = Y2. sen(y)Ι02 - (-2y.cos(y)Ι02 + ∫02 2.cos(y) dy)
∫02 cos(y) . Y2 dy = Y2. sen(y)Ι02 + 2y.cos(y)Ι02 - 2.sen(y) Ι02
∫02 cos(y) . Y2 dy = 22. sen(2) - 0. sen(0) + 2.2.cos(2) - 2.0.cos(0) - (2.sen(2) - 2.sen(0) )
∫02 cos(y) . Y2 dy = 4. sen(2) + 4.cos(2) - 2.sen(2) + 2.sen(0)
∫02 cos(y) . Y2 dy = 2. sen(2) + 4.cos(2) + 2.
