Sejam dados dois reservatórios R1: z = √(x2 + y2) de altura h(formato cônico), e R2: z = x2 + y2 de mesma altura h(formato parabólico). Nesse contexto, qual deverá ser a relação entre seus volumes? Use integral dupla para fundamentar sua resposta.
Olá Inacio,
O volume de sólidos pode ser calculado a partir da relação
Volume = integralDupla S(x,y)dA.
Assim, o reservatório R1 terá volume
V_1 = integralDupla Raiz(x^2+y^2)dxdy
Passando para coordenadas polares, onde
x = rcos(t) com t sendo o ângulo
y = rsen(t)
dxdy = rdrdt
teremos,
V_1 = integralDupla r^2 drdt
A variável t está limitada no intervalo 0 < t < 2*pi.
Por outro lado, se z = raiz(x^2+y^2) e r^2 = x^2+y^2, então z = r.
Logo, para uma altura z = h, r estará submetido no intervalo 0 < r < h.
Por fim, a integral fica
V_1 = integralDupla r^2drdt
com 0 < t < 2*pi e 0 < r < h, tal que,
V_1 = (2*pi/3)h^3
Agora, para o volume V_2, o cálculo é muito similar e resulta em
V_2 = integralDupla r^3drdt
com 0 < t < 2*pi e 0 < r < raiz(h), tal que,
V_2 = (pi/2)h^2
Finalmente, dividindo V_1/V_2, teremos
V_1/V_2 = 4h/3
É isso amigo,
Até.
