Olá Bruna! Note que a probabilidade de se ter um ponto floresta é
, isto é, esperasse que a cada
pontos sorteados
sejam floresta. Dessa forma, o tamanho médio da amostra para que sejam escolhidos
pontos floresta é
. O tamanho mínimo da amostra é
, pois é o número mínimo que necessitamos para escolher
pontos floresta. O tamanho máximo que a amostra pode ter é
, pois como os pontos são selecionados com reposição nada nos impede de sempre (embora improvável) escolhermos um ponto cerrado ou água.
Espero ter lhe ajudado!
Primeiramente, é importante ter em mente que a área total em questão possui infinitos pontos.
Define-se a seguinte variável aleatória (v.a.) Y:
Y = 1 (ponto da floresta foi selecionado)
Y = 0 (caso contrário)
Neste caso, Y ~ Ber(p), onde p = 0,30 (probabilidade de selecionar um ponto da floresta).
Como tem-se que os sorteios são independentes entre si, com reposição e identicamente distribuídos, pode-se definir a v.a. X como sendo o número de pontos sorteados até se atingir r sucessos (lembrando que sucesso, neste caso, foi definido como sortear um ponto proveniente de floresta). Neste caso, o interesse é saber qual o número de pontos sorteados, em média, até se atingir r = 3 sucessos (três pontos de floresta).
Este é o típico caso em que X ~ Binomial Negativa(r,p), sendo no caso, X ~ BinNeg(3; 0,30) -- e, no caso, deseja-se calcular a esperança de X (ou valor esperado de X, ou média) -- E[X]. Como se sabe que se X ~ BinNeg(r,p), então E[X] = r/p, logo:
E[X] = r/p = 3/0,30
E[X] = 10
Ou seja, em média, sorteiam-se 10 pontos do terreno até se obter 3 pontos de floresta.
O mínimo tamanho possível que a amostra pode ter é, justamente, 3 pontos (no caso de se selecionar 3 pontos de floresta logo nas três primeiras tentativas).
O máximo tamanho possível que a amostra pode ter é infinito (no caso de se ficar sorteando indefinidamente os pontos do terreno até que se chegue, um dia, a obter os 3 pontos de floresta).
