Num levantamento estatístico a respeito da altura dos alunos de uma classe, a média é de 1,60m e desvio padrão é de 0,06m. Retirando-se um aluno aleatoriamente dessa classe, determine: X~N(1,60; 0,0036) ?= 0,06 ?= 1,60 a) a probabilidade desse aluno ter altura entre 1,65m e 1,75m; b) a probabilidade desse aluno ter altura maior que 1,70m; c) a probabilidade desse aluno ter altura menor que 1,60m; d) a porcentagem de alunos com altura menor que 1,50m.
Olá. Vou responder a sua dúvida.
O enunciado do exercício diz que a variável aleatória X tem distribuição normal com média 1,60 e desvio padrão 0,06. Isso significa que a variância é 0,06 ao quadrado = 0,0036.
Temos que usar o cálculo da distribuição normal padronizada z para todas as letras do exercício a, b , c e d. Lembrando que Z= [(X - média)/desvio-padrão]. Logo
a) P(1,65 < X < 1,75) = P(0,833 < Z < 2,5) = P(Z<2,5) - P(Z<0,833) =
0,993790-0.796731 = 0,197059 = 19,71%
b) P(X > 1,70) = P( Z > 1,67) = 1 - P(Z < 1,67) = 0,04746 = 4,75%
c) P(X <1,60) = P( Z < 0) = 0,50 = 50,0%
d) P(X <1,50) = P( Z < -1,67) = 0,047460 = 4,75%
Essa é uma questão de cálculo de probabilidades, dado um modelo normal especificado. Isso pode ser facilmente resolvido com um software (como o Excel, R, usando bibliotecas do Python etc.). Como suponho que a questão veio por uma razão de faculdade, onde se espera que resolva "na mão" (utilizando-se de uma tabela da normal padrão), irei passar o procedimento deste caso.
São quatro probabilidades sendo perguntadas -- sendo X ~ N(1,60; 0,0036):
a) P(1,65 < X < 1,75);
b) P(X > 1,70);
c) P(X < 1,60);
d) a porcentagem de alunos com altura menor que 1,50m - que é uma interpretação frequentista para P(X < 1,50).
Partindo da premissa que você dispõe somente de uma tabela da Z ~ N(0,1) (normal padrão), o procedimento a seguir é para padronizar a variável X e, com isso, conseguir ler as probabilidades na tabela. Lembrando que a probabilidade de uma variável aleatória contínua estar entre um valor "a" e "b" é definida como a integral definida da função densidade f(x) da v.a. entre os pontos "a" e "b", para a < b.
Passo 1: pegue cada quantil, desconte a média do modelo normal (mu) e divida pelo desvio padrão (sigma).
a) (1,75 - 1,60)/0,06 = 2,5
(1,65 - 1,60)/0,06 = 0,833
b) (1,70 - 1,60)/0,06 = 1,667
c) (1,60 - 1,60)/0,06 = 0
d) (1,50 - 1,60)/0,06 = -1,667
Passo 2: reescrever as probabilidades com os novos quantis, que serão relativos a uma Z ~ N(0,1)
a) P(0,833 < Z < 2,5);
b) P(Z > 1,667);
c) P(Z < 0);
d) P(Z < -1,667).
Passo 3: procurar esses quantis na tabela da normal padrão e ler a probabilidade. Atenção: cada tabela de normal padrão tem uma particularidade. Algumas mostram a área a partir do zero até o quantil z; outras tabelas mostram a área de -infinito até o quantil z; outras tabelas mostram a área do quantil z até o +infinito. Nesse caso, cada tabela tem um procedimento de leitura distinto. Também, nas tabelas nem sempre é possível encontrar o quantil exato, sendo que algumas vezes precisa-se escolher pelo quantil mais próximo ou então fazer uma interpolação linear (ainda que este último procedimento não seja muito recomendável, uma vez que a densidade normal não é nada linear). Por fim, para economizar "tempo" na hora de fazer a consulta e leitura dos valores na tabela, é bom ter sempre em mente que a distribuição normal é simétrica em torno da média.
Resultados: a seguir, coloco os resultados obtidos no software R.
a) P(1,65 < X < 1,75) = 0,1961
b) P(X > 1,70) = 0,0478
c) P(X < 1,60) = 0,5
d) a porcentagem de alunos com altura menor que 1,50m - que é uma interpretação frequentista para P(X < 1,50) = 0,0478
NOTA: Como X é uma variável aleatória contínua, tem-se que P(a < X < b) = P(a <= X < b) = P(a < X <= b) = P(a <= X <= b).
