Determine o produto vetorial dos vetores “a e b” e confirme o resultado através do determinante.

Suponha que os vetores a e b sejam dados por: O produto vetorial fica: Desta forma: (I) Agora calculemos o produto vetorial por meio do determinante: O qual fornece o mesmo resultado que (I). C.Q.D. Obs:. Também é possível resolver este problema usando o símbolo de Levi-Civita.

O produto vetorial fica: Desta forma: (I) Agora calculemos o produto vetorial por meio do determinante: O produto vetorial fica: Desta forma: (I) Agora calculemos o produto vetorial por meio do determinante: O qual fornece o mesmo resultado que (I). C.Q.D.

Produto vetorial | Física

Professor Douglas R.

Respondeu há 6 anos

Contatar Douglas

Suponha que os vetores a e b sejam dados por:

$\vec{a} = a_{x}\hat{i} + a_{y}\hat{j} + a_{z}\hat{k}$

$\vec{b} = b_{x}\hat{i} + b_{y}\hat{j} + b_{z}\hat{k}$

O produto vetorial fica:

$\vec{a} \times \vec{b} = (a_{x}\hat{i} + a_{y}\hat{j} + a_{z}\hat{k})\times (b_{x}\hat{i} + b_{y}\hat{j} + b_{z}\hat{k})$

$\vec{a} \times \vec{b} = a_{x}b_{x}(\hat{i}\times\hat{i}) + a_{x}b_{y}(\hat{i}\times\hat{j}) + a_{x}b_{z}(\hat{i}\times\hat{k}) + a_{y}b_{x}(\hat{j}\times\hat{i}) + a_{y}b_{y}(\hat{j}\times\hat{j}) + a_{y}b_{z}(\hat{j}\times\hat{k}) + a_{z}b_{x}(\hat{k}\times\hat{i}) + a_{z}b_{y}(\hat{k}\times\hat{j}) + a_{z}b_{z}(\hat{k}\times\hat{k})$

$\vec{a} \times \vec{b} = a_{x}b_{x}0 + a_{x}b_{y}\hat{k} + a_{x}b_{z}(-\hat{j}) + a_{y}b_{x}(-\hat{k}) + a_{y}b_{y}0 + a_{y}b_{z}(\hat{i}) + a_{z}b_{x}(\hat{j}) + a_{z}b_{y}(-\hat{i}) + a_{z}b_{z}0$

Desta forma:

(I)

$\vec{a} \times \vec{b} = (a_{y}b_{z} - a_{z}b_{y})\hat{i} + (a_{z}b_{x} - a_{x}b_{z})\hat{j} + (a_{x}b_{y} - a_{y}b_{x})\hat{k}$

Agora calculemos o produto vetorial por meio do determinante:

$\vec{a} \times \vec{b} = \left| \begin{array}{rcr} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z}\\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{array} \right| = a_{y}b_{z}\hat{i}+a_{z}b_{x}\hat{j} + a_{x}b_{y}\hat{k} - a_{y}b_{x}\hat{k} - a_{x}b_{z}\hat{j} - a_{z}b_{y}\hat{i}$

$\therefore\quad \vec{a} \times \vec{b} = (a_{y}b_{z} - a_{z}b_{y})\hat{i} + (a_{z}b_{x} - a_{x}b_{z})\hat{j} + (a_{x}b_{y} - a_{y}b_{x})\hat{k}$

O qual fornece o mesmo resultado que (I). C.Q.D.

Obs:. Também é possível resolver este problema usando o símbolo de Levi-Civita.

1 0

Um professor já respondeu

Envie você também uma dúvida grátis

Professora Claudia S.

Respondeu há 6 anos

Contatar Claudia

$\vec{a} = a_{x}\hat{i} + a_{y}\hat{j} + a_{z}\hat{k}$

$\vec{b} = b_{x}\hat{i} + b_{y}\hat{j} + b_{z}\hat{k}$

O produto vetorial fica:

$\vec{a} \times \vec{b} = (a_{x}\hat{i} + a_{y}\hat{j} + a_{z}\hat{k})\times (b_{x}\hat{i} + b_{y}\hat{j} + b_{z}\hat{k})$

$\vec{a} \times \vec{b} = a_{x}b_{x}(\hat{i}\times\hat{i}) + a_{x}b_{y}(\hat{i}\times\hat{j}) + a_{x}b_{z}(\hat{i}\times\hat{k}) + a_{y}b_{x}(\hat{j}\times\hat{i}) + a_{y}b_{y}(\hat{j}\times\hat{j}) + a_{y}b_{z}(\hat{j}\times\hat{k}) + a_{z}b_{x}(\hat{k}\times\hat{i}) + a_{z}b_{y}(\hat{k}\times\hat{j}) + a_{z}b_{z}(\hat{k}\times\hat{k})$

$\vec{a} \times \vec{b} = a_{x}b_{x}0 + a_{x}b_{y}\hat{k} + a_{x}b_{z}(-\hat{j}) + a_{y}b_{x}(-\hat{k}) + a_{y}b_{y}0 + a_{y}b_{z}(\hat{i}) + a_{z}b_{x}(\hat{j}) + a_{z}b_{y}(-\hat{i}) + a_{z}b_{z}0$

Desta forma:

(I)

$\vec{a} \times \vec{b} = (a_{y}b_{z} - a_{z}b_{y})\hat{i} + (a_{z}b_{x} - a_{x}b_{z})\hat{j} + (a_{x}b_{y} - a_{y}b_{x})\hat{k}$

Agora calculemos o produto vetorial por meio do determinante:

$\vec{a} \times \vec{b} = \left| \begin{array}{rcr} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z}\\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{array} \right| = a_{y}b_{z}\hat{i}+a_{z}b_{x}\hat{j} + a_{x}b_{y}\hat{k} - a_{y}b_{x}\hat{k} - a_{x}b_{z}\hat{j} - a_{z}b_{y}\hat{i}$

$\therefore\quad \vec{a} \times \vec{b} = (a_{y}b_{z} - a_{z}b_{y})\hat{i} + (a_{z}b_{x} - a_{x}b_{z})\hat{j} + (a_{x}b_{y} - a_{y}b_{x})\hat{k}$

O qual fornece o mesmo resultado que (I). C.Q.D.

0 0

Um professor já respondeu

Envie você também uma dúvida grátis

Professora Claudia S.

Respondeu há 6 anos

Contatar Claudia

$\vec{a} = a_{x}\hat{i} + a_{y}\hat{j} + a_{z}\hat{k}$

$\vec{b} = b_{x}\hat{i} + b_{y}\hat{j} + b_{z}\hat{k}$

O produto vetorial fica:

$\vec{a} \times \vec{b} = (a_{x}\hat{i} + a_{y}\hat{j} + a_{z}\hat{k})\times (b_{x}\hat{i} + b_{y}\hat{j} + b_{z}\hat{k})$

$\vec{a} \times \vec{b} = a_{x}b_{x}(\hat{i}\times\hat{i}) + a_{x}b_{y}(\hat{i}\times\hat{j}) + a_{x}b_{z}(\hat{i}\times\hat{k}) + a_{y}b_{x}(\hat{j}\times\hat{i}) + a_{y}b_{y}(\hat{j}\times\hat{j}) + a_{y}b_{z}(\hat{j}\times\hat{k}) + a_{z}b_{x}(\hat{k}\times\hat{i}) + a_{z}b_{y}(\hat{k}\times\hat{j}) + a_{z}b_{z}(\hat{k}\times\hat{k})$

$\vec{a} \times \vec{b} = a_{x}b_{x}0 + a_{x}b_{y}\hat{k} + a_{x}b_{z}(-\hat{j}) + a_{y}b_{x}(-\hat{k}) + a_{y}b_{y}0 + a_{y}b_{z}(\hat{i}) + a_{z}b_{x}(\hat{j}) + a_{z}b_{y}(-\hat{i}) + a_{z}b_{z}0$

Desta forma:

(I)

$\vec{a} \times \vec{b} = (a_{y}b_{z} - a_{z}b_{y})\hat{i} + (a_{z}b_{x} - a_{x}b_{z})\hat{j} + (a_{x}b_{y} - a_{y}b_{x})\hat{k}$

Agora calculemos o produto vetorial por meio do determinante:

$\vec{a} \times \vec{b} = \left| \begin{array}{rcr} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z}\\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{array} \right| = a_{y}b_{z}\hat{i}+a_{z}b_{x}\hat{j} + a_{x}b_{y}\hat{k} - a_{y}b_{x}\hat{k} - a_{x}b_{z}\hat{j} - a_{z}b_{y}\hat{i}$

$\vec{a} = a_{x}\hat{i} + a_{y}\hat{j} + a_{z}\hat{k}$

$\vec{b} = b_{x}\hat{i} + b_{y}\hat{j} + b_{z}\hat{k}$

O produto vetorial fica:

$\vec{a} \times \vec{b} = (a_{x}\hat{i} + a_{y}\hat{j} + a_{z}\hat{k})\times (b_{x}\hat{i} + b_{y}\hat{j} + b_{z}\hat{k})$

$\vec{a} \times \vec{b} = a_{x}b_{x}(\hat{i}\times\hat{i}) + a_{x}b_{y}(\hat{i}\times\hat{j}) + a_{x}b_{z}(\hat{i}\times\hat{k}) + a_{y}b_{x}(\hat{j}\times\hat{i}) + a_{y}b_{y}(\hat{j}\times\hat{j}) + a_{y}b_{z}(\hat{j}\times\hat{k}) + a_{z}b_{x}(\hat{k}\times\hat{i}) + a_{z}b_{y}(\hat{k}\times\hat{j}) + a_{z}b_{z}(\hat{k}\times\hat{k})$

$\vec{a} \times \vec{b} = a_{x}b_{x}0 + a_{x}b_{y}\hat{k} + a_{x}b_{z}(-\hat{j}) + a_{y}b_{x}(-\hat{k}) + a_{y}b_{y}0 + a_{y}b_{z}(\hat{i}) + a_{z}b_{x}(\hat{j}) + a_{z}b_{y}(-\hat{i}) + a_{z}b_{z}0$

Desta forma:

(I)

$\vec{a} \times \vec{b} = (a_{y}b_{z} - a_{z}b_{y})\hat{i} + (a_{z}b_{x} - a_{x}b_{z})\hat{j} + (a_{x}b_{y} - a_{y}b_{x})\hat{k}$

Agora calculemos o produto vetorial por meio do determinante:

$\vec{a} \times \vec{b} = \left| \begin{array}{rcr} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z}\\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{array} \right| = a_{y}b_{z}\hat{i}+a_{z}b_{x}\hat{j} + a_{x}b_{y}\hat{k} - a_{y}b_{x}\hat{k} - a_{x}b_{z}\hat{j} - a_{z}b_{y}\hat{i}$

$\therefore\quad \vec{a} \times \vec{b} = (a_{y}b_{z} - a_{z}b_{y})\hat{i} + (a_{z}b_{x} - a_{x}b_{z})\hat{j} + (a_{x}b_{y} - a_{y}b_{x})\hat{k}$

O qual fornece o mesmo resultado que (I). C.Q.D.

0 0

Um professor já respondeu

Envie você também uma dúvida grátis

Produto vetorial

Um professor já respondeu

Envie sua pergunta

Um professor já respondeu

Um professor já respondeu

Aprenda do seu jeito, no seu ritmo

Envie atividades, projetos ou exercícios para um professor resolver no seu prazo.