1. Sejam três vetores a,b,c linearmente independentes. Podemos afirmar que
a) u = 3b -2a , v=2b + 2c e w=a + 3c é LI ou LD?
b) u= 3b - 3a, v=3c -2b e w=3c - a é LI ou LD?
2. V ou F
a) Se 0u + 0v + 0w = 0, entao o conjunto (u,v) é LI
b) Se -u -2v + w/3 = 0, então o conjunto (u,v,w) é LI
c) Se u = 2v + w/3 então o conjunto (u,v,w) é LD
1.
a) Para determinar se os vetores u, v e w são LI (linearmente independentes) ou LD (linearmente dependentes), podemos montar uma matriz com os vetores como suas colunas e verificar se o determinante dessa matriz é diferente de zero.
Montando a matriz:
| 3 2 1 |
|-2 0 3 |
Calculando o determinante dessa matriz, temos:
det = (3*0*3) + (2*3*(-2)) + (1*(-2)*0) - ((-2*0*1) + (3*3*3) + (2*(-2)*0))
= 0 + (-12) + 0 - (0 + 27 + 0)
= -12 - 27
= -39
Como o determinante é diferente de zero (-39 ? 0), podemos concluir que os vetores u, v e w são LI.
b) Para determinar se os vetores u, v e w são LI ou LD, faremos o mesmo procedimento que no item a).
Montando a matriz:
|-3 -2 0 |
| 3 0 -3 |
Calculando o determinante dessa matriz, temos:
det = (-3*0*(-3)) + (-2*(-3)*3) + (0*3*0) - ((3*0*0) + (0*(-3)*(-3)) + (-2*3*0))
= 0 + 18 + 0 - (0 + 27 + 0)
= 18 - 27
= -9
Como o determinante é diferente de zero (-9 ? 0), podemos concluir que os vetores u, v e w também são LI.
2.
a) Verdadeiro (V). Se 0u + 0v + 0w = 0, isso significa que todos os coeficientes são iguais a zero, o que implica que os vetores u, v e w são LI.
b) Falso (F). A equação -u - 2v + w/3 = 0 pode ser reescrita como -u - 2v + (1/3)w = 0. Isso implica que existe uma combinação linear dos vetores u, v e w que resulta no vetor nulo, portanto, eles são LD.
c) Falso (F). A equação u = 2v + w/3 implica que u - 2v - (1/3)w = 0. Isso indica que existe uma combinação linear dos vetores u, v e w que resulta no vetor nulo, portanto, eles são LD.
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