1. Prove que cada decimal periódico representa um numero racional.
2. Sendo b,c e h os catetos e altura de um triangulo retângulo , mostre :
1/h^2 = 1/b^2 + 1/c^2
3. Em um triangulo retangulo de perímetro p , a altura relativa a hipótese é h . calcule o comprimento da hipotenusa em função dos elementos dados..
1. Seja o decimal periódico: N = a.r
onde r representa o numeral que se repite, e vamos supor que tem ''n'' dígitos. Então, podemos escrever N como:
N = (ar - r)/[(10^n) -1]
como a, r e [(10^n)-1] são enteros, temos que N é uma divisão de dois números enteros, portanto N é racional.
2. Sejam b, c os catetos e ''a'' a hipotenusa do triângulo retângulo. Do teorema de Pitágoras, temos:
a² = b² + c²
dividimos por (b.c)²
a²/(b.c)² = b²/(b.c)² + c²/(b.c)²
mas é sabido que: a.h = b.c
a²/(a.h)² = b²/(b.c)² + c²/(b.c)²
simplificando, temos:
1/h² = 1/b² + 1/c²
3. Temos que:
p = a+b+c ---> b+c = p-a ...(1)
além: a² = b² + c² ...(2)
e a.h = b.c ---> 2.a.h = 2.b.c ...(3)
somamos (2) e (3):
a² + 2.a.h = b² + c² + 2.b.c
a² + 2.a.h = (b+c)²
de (1):
a² + 2.a.h = (p-a)²
a² + 2.a.h = p²-2.p.a+a²
2.a.h+2.p.a = p²
2a(h+p) = p²
e assim, o comprimento da hipotenusa é:
a = p²/2(h+p)
