As probabilidades iniciais dos eventos A1, A2 e A3 são P(A1) = 0,20, P(Az) = 0,50 e P(A3) = 0,30. As
probabilidades condicionais do evento B, dados A1, A2 e A3 são P(R 1 A1) = 0,50, P(RI A2) = 0,40 e
P(R 1 A3) = 0,30.
a. Calcule P(R n A1), P(R n A2) e P( R n A3).
b. Aplique o teorema de Bayes, a Equação 4.19, para calcular a probabilidade a posteriori P(A2 1 R).
c. Use a abordagem tabular para aplicar o teorema de Bayes ao cálculo de P(A 1 1 R), P(A2 1 R) e P(A3 1 R).
Vamos calcular as probabilidades solicitadas passo a passo:
a. Para calcular P(R ? A1), onde ? representa a interseção entre os eventos, podemos usar a fórmula de probabilidade condicional:
P(R ? A1) = P(R|A1) * P(A1)
Substituindo os valores fornecidos:
P(R ? A1) = 0,50 * 0,20 = 0,10
Da mesma forma, podemos calcular as probabilidades P(R ? A2) e P(R ? A3):
P(R ? A2) = P(R|A2) * P(A2) = 0,40 * 0,50 = 0,20
P(R ? A3) = P(R|A3) * P(A3) = 0,30 * 0,30 = 0,09
Portanto, as probabilidades são:
P(R ? A1) = 0,10
P(R ? A2) = 0,20
P(R ? A3) = 0,09
b. Agora, vamos aplicar o teorema de Bayes para calcular a probabilidade a posteriori P(A2 | R). A fórmula é dada por:
P(A2 | R) = (P(R | A2) * P(A2)) / P(R)
Para calcular P(R), podemos usar a lei da probabilidade total:
P(R) = P(R ? A1) + P(R ? A2) + P(R ? A3)
Substituindo os valores:
P(R) = 0,10 + 0,20 + 0,09 = 0,39
Agora, podemos calcular P(A2 | R):
P(A2 | R) = (P(R | A2) * P(A2)) / P(R) = (0,40 * 0,50) / 0,39 ? 0,513
Portanto, a probabilidade a posteriori P(A2 | R) é aproximadamente 0,513.
c. Para aplicar o teorema de Bayes usando a abordagem tabular, podemos calcular as probabilidades P(A1 | R), P(A2 | R) e P(A3 | R) da seguinte forma:
P(A1 | R) = (P(R | A1) * P(A1)) / P(R)
P(A2 | R) = (P(R | A2) * P(A2)) / P(R)
P(A3 | R) = (P(R | A3) * P(A3)) / P(R)
Substituindo os valores:
P(A1 | R) = (0,50 * 0,20) / 0,39 ? 0,256
P(A2 | R) = (0,40 * 0,50) / 0,39 ? 0,513
P(A3 | R) = (0,30 * 0,30) / 0,39 ? 0,231
Portanto, as probabilidades a posteriori são aproximadamente:
P(A1 | R) ? 0,256
P(A2 | R) ? 0,513
P(A3 | R) ? 0,231
