determine o volume de um tronco de pirâmide regular hexagonal de aresta lateral com 5m de comprimento e áreas das bases de 54√3 m² e 6√3 m².
Olá Yara,
Segue abaixo a resolução:
O exagono inferior é formado por 6 triangulos equiláteros. Nesse caso, a aresta de cada triangulo será dada por:
Repete o procedimento no exagono superior para determinar a aresta dos triangulos superiores:
Com esses valores, vc monta um triangulo, externo ao tronco, semelhante ao da figura https://ibb.co/CvtZN9r.
A partir desse triangulo, aplicando pitágoras, vc encontra a altura:
Conhecendo a altura do tronco, calcula o volume do tronco:
É isso,
Até.
Obs: O símbolo de raiz quadrada foi utilizado corretamente, porém na publicação aparece como (?)
Dados fornecidos:
Área da base maior do tronco hexagonal : AB = 54?3 (m²)
Área da base menor do tronco hexagonal: Ab = 6?3 (m²)
Aresta lateral do tronco hexagonal: L = 5 (m)
Resolução:
Publiquei a imagem correspondente ao exercício no link: http://www.fabioandriolo.com.br/tira-duvidas-01/
A fórmula para o cálculo do volume do tronco hexagonal é:
Temos as áreas das bases do tronco hexagonal, portanto precisamos calcular a altura "h" do tronco para podermos calcular o volume
A área da base maior do tronco hexagonal corresponde a seis vezes a área do triângulo maior: AB = 6 x AT
A área da base menor do tronco hexagonal corresponde a seis vezes a área do triângulo maior: Ab = 6 x At
Note que na imagem que publiquei há um trapézio desenhado em vermelho. No lado direito do trapézio temos a aresta lateral do tronco do hexágono e podemos calcular a altura do tronco pelo triângulo formado entre a aresta, a altura do tronco e a base do triângulo que é a diferença entre as medidas das laterais dos triângulos da base maior e da base menor.
Portanto, usando o teorema de Pitágoras:
(hipotenusa)2 = (cateto 1)2 + (cateto 2)2
hipotenusa = 5 (m)
cateto 1 = h (altura do tronco)
cateto 2 = Lateral triangulo da base maior - Lateral triangulo da base menor
Precisamos calcular o valor das laterais dos triângulos da base maior e da base menor.
Fórmula para calcular a área do triângulo: AT = LT2 . ?3 / 4
A área da base do tronco é seis vezes a área do triângulo: AB = 6 x AT
Para a base maior: 54?3 = 6 . ( LT2 . ?3 / 4 ) => 54?3 = 6 . LT2 . ?3 / 4 => 54?3 . 4 / ?3 = 6 . LT2 => 54 . 4 / 6 = LT2 => 36 = LT2 => LT = 6 (m)
Para a base menor: 6?3 = 6 . ( Lt2 . ?3 / 4 ) => 6?3 = 6 . Lt2 . ?3 / 4 => 6?3 . 4 / ?3 = 6 . Lt2 => 6 . 4 / 6 = Lt2 => 4 = Lt2 => Lt = 2 (m)
cateto 2 = Lateral triangulo da base maior - Lateral triangulo da base menor = LT - Lt = 6 - 2 => cateto 2 = 4
(hipotenusa)2 = (cateto 1)2 + (cateto 2)2
52 = h2 + 42 => 25 = h2 + 16 => 25 - 16 = h2 => 9 = h2 => h = ?9 => h = 3 (m)
Calculando o volume do tronco do hexágono:
VT = 3 / 3 . ( 54?3 + ?(54?3 . 6?3) + 6?3) =>
=> VT = 54?3 + ?(54 . 6 . ?3 .?3) + 6?3 =>
=> VT = 54?3 + ?(54 . 6 . 3) + 6?3 =>
=> VT = 54?3 + ?(54 . 6 . 3) + 6?3 =>
=> VT = 54?3 + ?(324 . 3) + 6?3 =>
=> VT = 54?3 + ?(324 . 3) + 6?3 =>
=> VT = 54?3 + 18?3 + 6?3 =>
=> VT = 78?3 (m3)
