Calcule x e y

Question

Sendo X e Y racionais tal que sqrt(y) é irracional e x-2 sqrt(y)=2x-7 sqrt(18-2y), calcule X e Y.

Gabriel V. · Accepted Answer

Oi Juliana, tudo bom? Se você tiver certeza do enunciado:

Calcular $x$ e $y$ racionais tais que $\sqrt{y}$ é irracional e vale a equação abaixo.

(1):	$x-2\sqrt{y} = 2x - 7 \sqrt{18-2y}$

Ora, subtraindo $2x$ de ambos os lados e depois multiplicando dos dois lados por $-1$ , podemos rearranjar a equação (1) da seguinte forma:

(2):	$x+2\sqrt{y}=7\sqrt{18-2y}$

Agora elevamos ambos os lados da equação (2) ao quadrado e fica:

(3):	$x^2+4x\sqrt{y}+y=49(18-2y)$

onde usamos no lado esquerdo da equação (2) para equação (3) a fórmula do binômio $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ .

Agora note que $x^2$ + $y$ e $49(18-2y)$ são racionais pois soma, subtração e produto de racional com racional dá racional.

Então a equação (3) ali em cima só pode ser verdade se $4x\sqrt{y}$ é igual a zero. Isso nos diz que ou $x$ ou $\sqrt{y}$ são zero.

Como $\sqrt{y}$ é irracional, não pode ser zero, que é um racional, então $x=0$ .

Agora retornamos à equação (1) colocando $x=0$ , temos:

$-2\sqrt{y}=-7\sqrt{18-2y}$

que elevando ambos os lados ao quadrado fica:

$4y=49(18-2y)=49 \times 18 - 49\times 2y = 882 - 98y$

Ou seja,

$4y = 882 - 98y$

e agora precisamos simplesmente resolver uma equação do primeiro grau.

Somando $98y$ de ambos os lados, temos $102 y = 882$

Dividindo ambos os lados por $102$ , temos $y=882/102=147/17$ .

Resposta: $x=0$ e $y = 147/17$ .