Se A(0,4), B(2,0), C(6,0) são vértices de um triângulo, qual é o ponto comum a mediana referente ao vértices A e ao segmento de reta de extremidades nos pontos medios dos lados AB e AC?
Os pontos A, B e C não são colineares, podemos observar isso dispondo-os no plano cartesiano. Para resolver a questão, devemos encontrar os pontos médios, o que pode ser feito somando cada coordenada e dividindo por 2, por exemplo, o ponto médio de AB é (0 2/2 , 4 0/2), logo, (1, 2). Assim, o ponto médio de AC é (3,2) e o de BC é (4, 0). A mediana relativa ao vértice A é a reta q passa por A e pelo ponto médio do lado oposto, logo, pelo ponto médio de BC. Para achar a equação da reta devemos encontrar, primeiramente, o coeficiente angular fazendo (variação em y)/(variação em x) que, nesse caso, dá -1. A reta será dada na fórmula ( y - y') = m( x - x'), em que (x', y') são as coordenadas de um ponto qualquer. Portanto, a mediana é (y - 0) = (-1)(x-4) que reorganizando fica y x -4 = 0. Analogamente, a reta que passa pelos pontos médios de AB e AC é y = 2. Por fim, o ponto comum é dado pela substituição de uma na outra: (2) x -4=0, logo, x=2. RESPOSTA: ( 2,2)
