João compareceu ao supermercado para comprar óleo (garrafa de 1 litro), arroz (saco de 5 kg), feijão (saco de 1 kg), farinha de trigo (pacote de 1 kg) e leite (caixa de 1 litro). Sabendo que ele comprou um total de 20 volumes, incluindo, no mínimo, 3 caixas de leite e pelo menos 2 unidades (ou 2 volumes) de cada um dos demais produtos, é correto afirmar que a quantidade de maneiras diferentes de que ele poderia ter realizado a compra é igual a
Considere:
x_1 - número de volumes de óleo;
x_2 - número de volumes de arroz;
x_3 - número de volumes de feijão;
x_4 - número de volumes de farinha;
x_5 - número de volumes de leite.
Sabemos que no total João comprou 20 volumes, logo:
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 20.
além disso, sabemos que ele comprou no mínimo 3 caixas de leite e pelo menos duas unidades de cada um dos outros produtos. Então:
x_5 ? 3 (maior ou igual à 3)
x_1 ? 2
x_2 ? 2
x_3 ? 2
x_4 ? 2
Agora, observe que:
x_1 ? 2 então x_1 - 2 ? 0
x_2 ? 2 então x_2 - 2 ? 0
x_3 ? 2 então x_3 - 2 ? 0
x_4 ? 2 então x_4 - 2 ? 0
x_5 ? 3 então x_5 - 3 ? 0
Dessas expressões acima fazemos a seguinte mudança de variável:
y_1 = x_1 - 2 então x_1 = y_1 + 2
y_2 = x_2 - 2 então x_2 = y_2 + 2
y_3 = x_3 - 2 então x_3 = y_3 + 2
y_4 = x_4 - 2 então x_4 = y_4 + 2
y_5 = x_5 - 3 então x_5 = y_5 + 3
note que y_i ? 0 para i = {1,2,3,4,5}
Assim, a equação original pode ser reescrita como:
( y_1 + 2 ) + (y_2 + 2) + (y_3 + 2) + (y_4 + 2) + ( y_5 + 3) = 20
de onde obtemos:
y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 = 9
onde y_i ? 0 para i={1,2,3,4,5}
Portanto a solução é o número de soluções inteiras não negativas da equação acima. Aplicando a fórmula para o número de soluções inteiras não negativas na equação acima temos:
C13,4 = (13!) / ( 4! (13-4)!) = 13! / (4! 9!) = (13 . 12 . 11 . 10 . 9!)/(4! 9!) = (13 . 12 . 11 .10)/ 4!
= (13 . 12 . 11 .10)/(4 . 3 . 2 . 1) = 715
Logo, João poderia ter realizado esta compra de 715 maneiras diferentes.
Ingridh,
Vou fazer de uma outra forma.
Se dos 20 produtos 11 serão os 3 leites e mais 2 de cada dos demais produtos, então os outros 9 produtos poderiam ser quaisquer outros, desde por exemplo todos leite, como nenhum leite ou alguns leites, então veja o esquema a seguir.
Então o problema aqui será de quantas formas você pode comprar 9 produtos tendo 5 opções de escolha.
Vou representar um esquema que você poderá usar para todos os problemas desse tipo, considere 'x' a quantidade de cada produto comprado e '|' a separação entre eles:
| oleo | arroz | fejão | farinha | leite | |
| xxx | x | | xxx | xx | (nesta representação temos 3 óleos, 1 arroz, nenhum feijão, 3 farinhas e 2 leites - xxx|x||xxx|xx) |
| | | | xxxxxxxxx | | (nessa representação temos 9 farinhas e nenhum outro produto - |||xxxxxxxxx|) |
perceba que basta que você efetue uma permutação com elementos repetidos (9 'x' e 4 '|'), pois cada vez que o '|' muda de lugar ele define uma nova combinação de compras, por exemplo (x|xx|xx|xx|xx - aqui tem 1 óleo e mais dois produtos de cada).
P139,4 = 13! / (9! . 4!) = 715
A quantidade de maneiras diferentes de que ele poderia ter realizado a compra é igual a 715
Sempre que tiver um problema desse tipo, você pode fazer essa permutação Pnn1,n2 , 'n1' a quantidade de produtos a serem comprados, 'n2' a quantidade de opções de compra menos 1, e 'n' a soma desses dois valores.
Espero ter ajudado.
Fica com Deus!
