Críticos

Pontos críticos são aqueles em que a primeira derivada é nula; no caso de duas variáveis: . Com , temos:

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Dessa forma, os pontos ditos críticos da função são .

O teste da segunda derivada nos diz como podemos chamar esses pontos críticos: máximos locais, mínimos locais, ponto de sela ou se nada podemos saber sobre este. Seja D o determinandte da matriz Hessiana, então . A partir do cálculo feito acima sobre , temos ,  e , ou seja, .

Por D>0, então os pontos críticos são máximos ou mínimos locais. 

Conferimos os valores desses pontos críticos em e concluímos que aos três pontos o valor segue sendo positivo, o que revela, portanto, a partir do teste da segunda derivada, que os três pontos são mínimos relativos.

 

Para encontrar os pontos críticos da função F(x,y), precisamos calcular suas derivadas parciais em relação a x e y e igualá-las a zero: Fx = 8x^3 - 2x = 0 Fy = 2y - 2 = 0 Resolvendo a primeira equação, obtemos: 2x(4x^2 - 1) = 0 Isso nos dá duas soluções: x = 0 ou x = ±1/2 Resolvendo a segunda equação, obtemos: y = 1 Portanto, temos três pontos críticos: (0,1), (1/2,1) e (-1/2,1). Agora, precisamos usar o teste da segunda derivada para determinar se esses pontos são mínimos locais, máximos locais ou pontos de sela. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais: Fxx = 24x^2 - 2 Fyy = 2 Fxy = 0 Agora, podemos calcular o discriminante da matriz hessiana: D = FxxFyy - (Fxy)^2 D = (24x^2 - 2) × 2 - 0 D = 48x^2 - 4 Para (0,1): D = 48(0)^2 - 4 = -4 < 0 Como D < 0, temos um ponto de sela em (0,1). Para (1/2,1): D = 48(1/2)^2 - 4 = 10 > 0 e Fxx = 24(1/2)^2 - 2 = -1 < 0 Como D > 0 e Fxx < 0, temos um máximo local em (1/2,1). Para (-1/2,1): D = 48(-1/2)^2 - 4 = 10 > 0 e Fxx = 24(-1/2)^2 - 2 = -1 < 0 Como D > 0 e Fxx < 0, temos um máximo local em (-1/2,1). Portanto, a função F(x,y) tem um ponto de sela em (0,1) e dois máximos locais em (1/2,1) e (-1/2,1).