Olá!
Existe um resultado conhecido como Teorema (ou Teste) das Raízes Racionais. Esse resultado garante que se temos um polinômio da forma
com a_n e a_0 diferentes de zero, então toda raiz racional p/q, com mdc(p,q)=1, satisfaz as seguintes condições:
1. a_n é divisível por q.
2. a_0 é divisível por p.
Dito isso, vamos aplicar esse resultado no exercício proposto!
Considerando a equação algébrica
Considere uma raiz racional qualquer da expressão acima, ou seja, uma raiz da forma p/q com mdc(p,q)=1. Vamos mostrar que p/q é um número inteiro!
De fato, pelo Teorema das Raizes Racionais, sabemos que q deverá dividir o coeficiente de x^n, ou seja, nesse caso, teremos que q divide 1.
Isso só é possível quando q=1 ou q=-1. Em ambos os casos, temos que p/q é um número da forma n/1, com n inteiro. Ou seja, p/q é um número inteiro.
Logo, como a raíz p/q foi tomada de forma arbitrária, qualquer raiz dessa expressão algébrica é um número inteiro, ou seja, tal expressão não possui raízes que não sejam inteiras.
