Partimos da série
Substituímos por
:
Agora multiplicamos tudo por
Ou ainda, você pode escrever a série acima pelo termo geral como
Para expandir a função f(z) = 1/(z(z^2 + 1)) em uma série de Laurent, é útil decompor a função em frações parciais primeiro. Para isso, expressamos a função como a soma de duas frações mais simples que têm denominadores lineares:
1/(z(z^2 + 1)) = A/z + B/(z-i) + C/(z+i)
Ao multiplicar ambos os lados por z(z^2 + 1) e igualando os coeficientes dos polinômios do mesmo grau de ambos os lados, podemos determinar os valores de A, B e C.
Resolvendo para A, B e C, obtemos:
A = 1/2,
B = -1/2i,
C = 1/2i.
Portanto, a decomposição em frações parciais da função é:
f(z) = 1/2z - 1/(2i(z-i)) + 1/(2i(z+i)).
Agora, podemos expandir cada termo da decomposição em uma série de Laurent:
1/2z = 1/2 * z^-1,
1/(2i(z-i)) = 1/(2i) * (1/(z - i)),
1/(2i(z+i)) = 1/(2i) * (1/(z + i)).
Observando as expressões acima, pode-se perceber que os dois últimos termos são séries de Laurent centradas em i e -i, respectivamente. Para expandir essas séries em torno de z=0, podemos usar a fórmula para a soma de uma série geométrica, que é válida para |z/i| < 1 e |z/(-i)| < 1:
1/(2i(z - i)) = (1/(2i)) * ?[(z/i)^n] para n=0 até ?,
1/(2i(z + i)) = (1/(2i)) * ?[(z/-i)^n] para n=0 até ?.
Portanto, a série de Laurent para f(z) em torno de z=0 é:
f(z) = 1/2 * z^-1 + (1/(2i)) * ?[(z/i)^n] + (1/(2i)) * ?[(z/-i)^n] para n=0 até ?.
Esta série é válida para |z| < 1. Para |z| > 1, você precisaria de uma série diferente, que pode ser obtida usando uma abordagem semelhante, mas decompondo 1/(z^2 + 1) de forma diferente em frações parciais.
