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Gabriela há 6 anos
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Matemática- potenciação e fatoração

se (?3 - 1/ ?3 + 1) elevado na potência 100 é equivalente a (a + b ?3) elevado na potência 50, então a + b vale?  (Obs: a raiz ficou como ponto de interrogação na hora de digitar)

Matemática Geral Ensino Médio ENEM
1 resposta
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Professor David C.
Respondeu há 6 anos
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(Vou supor que o exercício é assim)

Se

(\sqrt{3}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+1)^{100}

é equivalente a

(a+b\sqrt{3})^{50}

então a+b vale?

Solução

Note que

\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}

Então

\sqrt{3}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+1=\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}+1=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}+1

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\left(\sqrt{3}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+1 \right)^{100} = \left(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}+1 \right)^{100} = \left( \left(\dfrac{2\sqrt{3}}{3} +1 \right)^2\right)^{50} = \left(\dfrac{4}{3}+\dfrac{4\sqrt{3}}{3}+1 \right)^{50}

\left(\sqrt{3}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+1 \right)^{100} = \left(\dfrac{7}{3}+\dfrac{4}{3}\sqrt{3} \right)^{50}

Portanto

a=\dfrac{7}{3}, \, b = \dfrac{4}{3} \Rightarrow a+b=\dfrac{7}{3} + \dfrac{4}{3}=\dfrac{11}{3}

 

Para mais informação

asesor.matematica.1990@gmail.com

Whatsapp: (11)994414817

 

 

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