Módulo e a forma trigonométrica

O primeiro passo é identificar que esse é um problema de divisão de números complexos. Como dividir números complexos? Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Essa é uma forma mais inteligente de eliminar de uma vez por todas o denominador! O que é o conjugado? Por exemplo, conjugado de (3+4i) é (3 - 4i). Vamos fazer a divisão! Use distributivas. Use também o fato de i² = -1 . z = (4-3i)*(3-4i) / [(3+4i)*(3-4i)] Resultando em: z = -i O módulo desse número é 1. O argumento desse número é - 90º.

Imagine que na forma retangular os números são representados como sendo z = = A + B.i = A.x + B.y, sendo x e y os planos Real e Imaginário: y (Plano Complexo i) | B.i |..... z (A,B) | / . | / . | / . |/__ ._____________ (Plano Real) A x Agora, imagine que na representação polar (ou trigonométrica), você está representando esse mesmo ponto pelo ângulo (âng) e raio (R) ou módulo => z = R /_âng y (Plano Complexo) y (Plano Complexo) | | B.i |. . . . z (A,B) | . z (âng, Raio) | / . => | / | / . | R/ | / . | / |/___._____________ x (Plano Real) |/_)âng___________ x (Plano Real) A Então, a primeira coisa que temos que fazer é transformar o número z= ((4-3i)/((3+4i)) em algo parecido com z = A + B.i, para obtermos os pontos A e B no planos (4 - 3.i) z = _________ = A + B.i (3 + 4.i) Para eliminar o denominador, ou em outras palavras, retirar a parte complexa, podemos multiplicá-lo pelo conjugado (3 - 4.i) => (3 + 4.i).(3 - 4.i) = 3^2 - (4.i)^2 = 3^2 - ((4)^2.(i)^2) = 9 - (16.(-1)) = 9 -(-16) = 25 (= número real) Então, na nossa equação, podemos multiplar tanto o numerador quanto o numerador por (3 - 4.i) (4 - 3.i) (3 - 4.i) 12 - 16.i -9.i + (-3.i).(-4.i) 12 - 25.i + 12.(i^2) 12 - 25.i + 12.(-1) -25.i z = ______ . ______ = __________________ = ______________ = _____________ = ____ = -i = 0 + (-1).i = A + B.i (3 + 4.i) (3 - 4.i) 25 (do cálculo acima) 25 25 25 Logo, temos que A = 0 e B = -1 Agora, para transformá-los em R e âng, podemos olhar novamente no gráfico abaixo: y (Plano Complexo) | | B.i |. . . . . . z (A,B) | / . | / . | R / . | / . | / . |/_)âng.__________ x (Plano Real) A Substituindo os valores de A e B: y (Plano Complexo) | |__________________ x (Plano Real) |_|âng. | | R | -i | z (0,-1) | O raio ou módulo R é igual a hipotenusa do triangulo formado pelos pontos A e B, assim => R^2 = A^2 + B^2 R^2 = 0 + (-1)^2 = 1 => R = +-1, como queremos apenas o módulo de R |R| = +-1 = 1 (ou pela simples análise do gráfico acima) O ângulo (âng) podemos obter a partir da tangente formada por A e B: tan(âng) = (-1)/0 = -infinito => âng = arctan (-infinito) = -90 graus (ou pela simples análise do gráfico acima) PORTANTO: z = A + B.i = |R|/_âng z = (4 - 3.i) /(3 + 4.i) = 1 /_-90 graus