Uma parábola é um conjunto de pontos no plano que são todos igualmente distantes de um ponto fixo chamado de foco (F) e de uma linha fixa chamada de diretriz.
Para mostrar que a equação reduzida da parábola com centro em (0,0) e foco no eixo x é y^2 = 4px, podemos começar observando as características dessa parábola.
Como o foco está no eixo x, a parábola está aberta para a direita (se o foco está em um ponto positivo x) ou para a esquerda (se o foco está em um ponto negativo x). Isso significa que a distância p do foco ao vértice (0,0) da parábola é igual ao valor x do foco.
Com base nisso, a distância do foco a qualquer ponto (x,y) na parábola é igual à distância desse ponto à diretriz. A diretriz da parábola é uma linha vertical no eixo x que é igualmente distante do foco, mas na direção oposta. A distância entre a diretriz e o foco é igual ao valor de p. Assim, a equação da diretriz é x = -p.
Agora, podemos mostrar que a equação da parábola é y^2 = 4px.
Pela definição de parábola, a distância do foco F(p,0) a qualquer ponto P(x,y) na parábola é igual à distância do ponto P(x,y) à diretriz (x = -p). Assim, podemos configurar a seguinte equação com base no teorema de Pitágoras:
Distância FP = Distância PD
(sqrt((x-p)^2+y^2) = |x-(-p)|
Ao quadrado os dois lados, temos:
(x-p)^2+y^2 = (x+p)^2
Expandindo e simplificando, temos:
x^2 - 2px + p^2 + y^2 = x^2 + 2px + p^2
Os termos x^2 e p^2 cancelam, deixando:
- 2px + y^2 = 2px
Ou seja, y^2 = 4px, que é a equação reduzida da parábola com centro em (0,0) e foco em (p,0).
Dúvida respondida.
O método mais simples é isolar o y.
Elevando ambos os lados ao quadrado:
A solução algébrica foi realizada.
