Mostre que é verdadeira a proposição p(n)

Podemos provar da seguinte forma:

vejamos para p(2): p(2)=1+3=4=2² (ok!) Esse é o nosso caso base.

Suponha agora que seja verdade essa proposição para p(k) -> 1+3+5+...+(2k-1)=k²

Se provarmos que também é válido para k+1 -> que será válido para todo k natural (pois temos um caso base)

vejamos:

p(k+1)=1+2+3+...+(2k-1)+(2k+1)=p(k)+2k+1=k²+2k+1=(k+1)² (ok!)


Portanto, por princípio da indução finita, demonstramos a conjectura p(n)=1+3+5+...+(2n-1)=n²

OBS.: tem uma prova muito legal para essa proposição por figura (area de um quadrado). Inclusive foi assim que provaram ela há mais de 2mil anos :)

Vamos demonstrar a proposição P(n) por indução matemática.

Base da Indução: Para n = 1, temos que a soma dos primeiros números ímpares é 1, que é igual a 1^2. Portanto, a proposição P(1) é verdadeira.

Hipótese da Indução: Suponha que P(k) é verdadeira para algum k natural, ou seja, que a soma dos primeiros k números ímpares é k^2.

Passo da Indução: Vamos mostrar que P(k+1) é verdadeira, ou seja, que a soma dos primeiros k+1 números ímpares é igual a (k+1)^2.

Podemos escrever a soma dos primeiros k+1 números ímpares como a soma dos primeiros k números ímpares mais o (k+1)-ésimo número ímpar:

1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) + (2k+1)

Pela hipótese da indução, a soma dos primeiros k números ímpares é k^2. Então, podemos substituir essa soma na expressão acima e obter:

k^2 + (2k+1)

Agora, vamos simplificar essa expressão:

k^2 + (2k+1) = k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2

Portanto, a soma dos primeiros k+1 números ímpares é igual a (k+1)^2, o que significa que a proposição P(k+1) é verdadeira.

Conclusão: Como a proposição P(1) é verdadeira e mostramos que, para qualquer k natural, se P(k) é verdadeira então P(k+1) é verdadeira, podemos concluir que a proposição P(n) é verdadeira para todo n natural.

Observe que sempre que o número tiver a quantidade de divisores ímpares então ele vai ser do tipo n². Assim ele é um quadrado perfeito.

Podemos aplicar o método da indução finita, pois, como no enunciado da questão já deixou claro que a proposição é verdadeira para os primeiros casos, podemos tentar ver se continua válido para um n+1, assumindo que é válido para n.

Ou seja,

assumindo que a expressão

1 + 3 + 5 + .. + (2n-1) = n^2

é válida para um certo n, vamos mostrar que também é válida para o valor seguinte, ou seja, n+1

Então, queremos demonstrar que:

1 + 3 + 5 + .. + (2n-1) + (2n+1) = (n+1)^2

Vamos trabalhar o lado esquerdo da expressão,

Temos que 

1 + 3 + 5 + .. + (2n-1) + (2n+1) =

[1 + 3 + 5 + .. + (2n-1)] + (2n+1)

essa parte entre colchetes já sabemos que é n^2, pois é o que estamos assumindo, logo fica:

n^2 + (2n+1)

Mas isso é justamente (n+1)^2, pois sabemos que 

(n+1)^2 = (n+1)(n+1) = n*n + n + n + 1 = n^2 + 2n + 1.

Portanto, assumindo que a expressão é válida para um certo n, demonstramos que ela será válida para n+1, com isso, podemos concluir que a expressão será verdadeira para qualquer valor de n.