Na figura está representada a circunferência trigonométrica,

Para resolver essa questão, vamos analisar cada uma das afirmações usando os sinais das funções trigonométricas nas posições dos ângulos fornecidos.

Dado: 1. $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ implica que $\alpha$ está no terceiro quadrante, onde (\cos(\alpha)<0) e (\sin(\alpha)<0). 2. $-\frac{\pi }{2}<\beta <0$ implica que $\beta$ está no quarto quadrante, onde (\cos(\beta)>0) e (\sin(\beta)<0).

Agora, vamos analisar cada afirmação:

1. $\cos (-\frac{\pi }{2}+\alpha )·\cos (\beta )<0$

2. $-\frac{\pi }{2}+\alpha$ está no terceiro quadrante (para $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$), então (\cos(-\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin(\alpha) > 0) (porque no terceiro quadrante, (\sin(\alpha)<0)).

3. (\cos(\beta) > 0) no quarto quadrante.

4. O produto de dois positivos é positivo, então a afirmação é falsa, pois deveria ser (\cos(-\frac{\pi}{2} + \alpha) \cdot \cos(\beta) > 0).

5. (-\sin(\frac{7\pi}{2} + \alpha) - \cos(\beta) < 0)

6. $\frac{7\pi }{2}+\alpha$ é equivalente a $\frac{\pi }{2}+\alpha$ (após subtrair $3\pi$), que está no terceiro quadrante, então (-\sin(\frac{7\pi}{2} + \alpha) = -\cos(\alpha) > 0).

7. (-\cos(\beta) < 0), então (-\sin(\frac{7\pi}{2} + \alpha) - \cos(\beta)) pode ser negativo.

8. Portanto, a afirmação parece ser verdadeira.

9. (\sin(-\pi - \alpha) \cdot \cos(-\frac{3\pi}{2} - \alpha) > 0)

10. $-\pi -\alpha$ está no segundo quadrante, então (\sin(-\pi - \alpha) = -\sin(\pi + \alpha) = -(-\sin(\alpha)) > 0), pois (\sin(\alpha)<0) no terceiro quadrante.

11. (-\frac{3\pi}{2} - \alpha = -(\frac{3\pi}{2} + \alpha)) está no primeiro quadrante, então (\cos(-\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha) < 0).

12. O produto de um positivo com um negativo é negativo, então a afirmação é falsa.

13. (-\tan(\pi - \alpha) < -\tan(-\beta))

14. (\tan(\pi - \alpha) = -\tan(\alpha)) e no terceiro quadrante, (\tan(\alpha) > 0), então (-\tan(\alpha) < 0).

15. (-\tan(-\beta) = \tan(\beta)) e no quarto quadrante, onde (\tan(\beta) < 0), então (\tan(\beta) < 0).
16. A expressão fica negativa, mas comparando em desigualdade, a complexidade exige um teste numérico.
17. Essa afirmação requer verificação adicional, mas as duas são negativas com sinais invertidos corretamente, então a desigualdade parece válida.

Conclusão: A afirmação falsa é a 1ª: $\cos (-\frac{\pi }{2}+\alpha )·\cos (\beta )<0$, pois o produto deveria ser positivo, não negativo.