Bom dia Cassio.
Como Joel usa dois meios de transporte, ônibus (O) ou metrô (M), como tem a condição de usar pelo menos uma vez cada um desses dois transportes, podemos ter as seguintes configurações:
Para melhor compreensão vamos fixar algumas coisas.
Vamos verificar o que acontece pensando no ÔNIBUS.
1º Usa ônibus uma vez
Então a configuração para 2ª - O e 3ª, 4ª, 5ª e 6ª - M seria O M M M M;
Como são 5 dias, teríamos 5 possibilidades para ir 1 dia de ônibus e 4 dias de metrô;
2º Usa ônibus duas vezes
Então a configuração para 2ª e 3ª - O e 4ª, 5ª e 6ª - M seria O O M M M;
Como são dias, teríamos a combinação de 5, 2 a 2 para ônibus;
Logo tem-se 5!/2!3! = 10 possibilidades para ir 2 dias de ônibus e 3 dias de metrô;
3º Usa ônibus três vezes
Então a configuração para 2ª, 3ª e 4ª - O e 5ª e 6ª - M seria O O O M M;
Como são dias, teríamos a combinação de 5, 3 a 3 para ônibus;
Logo tem-se 5!/3!2! = 10 possibilidades para ir 3 dias de ônibus e 2 dias de metrô;
4º Usa ônibus quatro vezes
Então a configuração para 2ª, 3ª, 4ª, 5ª O e 6ª - M seria O O O O M;
Como são 5 dias, teríamos 5 possibilidades para ir 4 dias de ônibus e 1 dia metrô;
Somando todos os resultados obtidos, temos 5 + 10 + 10 + 5 = 30 possibilidades pensando em ÔNIBUS.
No entanto, esse é o número total, pois quando permutamos (ou combinamos, se preferir o termo) já encontramos as possibilidades para metrô.
Logo temos 30 sequências diferentes que satisfazem as condições propostas.
Espero ter ajudado e bons estudos.
