Para qual valor real de K,as raízes da equação x³+6x²+kx-10=0 são termos de uma progressão aritmética?

Question

Profes A. · Accepted Answer

Para que as raízes de um polinômio cúbico, como $x^{3} + 6 x^{2} + k x - 10 = 0$ , sejam termos de uma progressão aritmética (PA), podemos considerar que as raízes $r_{1}$ , $r_{2}$ e $r_{3}$ possam ser expressas na forma $a - d$ , $a$ , $a + d$ , onde $a$ é o termo central e $d$ é a diferença da PA.

A soma das raízes de um polinômio cúbico, dado pela fórmula de Viète, nos diz que a soma das raízes é igual a $- b / a$ . No nosso caso, temos:

r_{1} + r_{2} + r_{3} = - (6) = - 6

Substituindo as raízes na forma $a - d$ , $a$ e $a + d$ :

(a - d) + a + (a + d) = - 6

3 a = - 6

a = - 2

Agora, substituindo $a$ na forma das raízes, temos:

r_{1} = - 2 - d, r_{2} = - 2, r_{3} = - 2 + d

Agora, precisamos da soma dos produtos das raízes, que também é dada por Viète:

r_{1} r_{2} + r_{2} r_{3} + r_{3} r_{1} = k

Calculamos essa soma:

r_{1} r_{2} + r_{2} r_{3} + r_{3} r_{1} = (- 2 - d) (- 2) + (- 2) (- 2 + d) + (- 2 + d) (- 2 - d)

Calculamos cada parte:

(r_1r_2 = (-2 - d)(-2) = 4 + 2d)
(r_2r_3 = (-2)(-2 + d) = 4 - 2d)
(r_3r_1 = (-2 + d)(-2 - d) = 4 - d^2)

Agora juntamos todas essas partes:

(4 + 2 d) + (4 - 2 d) + (4 - d^{2}) = 12 - d^{2}

Assim, o produto das raízes dá:

k = 12 - d^{2}

Por fim, calculamos o produto das raízes:

r_{1} r_{2} r_{3} = - (- 10) = 10

Fazendo o cálculo do produto:

r_{1} r_{2} r_{3} = (- 2 - d) (- 2) (- 2 + d)

Isso é igual a:

[ (-2)(-2 - d)(-2 + d) = -2[(4 - d^2)] ]

Portanto:

10 = - 2 (4 - d^{2})

10 = - 8 + 2 d^{2}

18 = 2 d^{2}

d^{2} = 9

d = 3 ou d = - 3

Substituindo $d^{2}$ de volta em $k$ :

k = 12 - 9 = 3

Portanto, o valor de $k$ para que as raízes da equação $x^{3} + 6 x^{2} + k x - 10 = 0$ sejam termos de uma progressão aritmética é:

3

Bruno A. · Answer

Ol&aacute; Marcela, O assunto por tr&aacute;s da quest&atilde;o &eacute; rela&ccedil;&otilde;es de Girard em uma equa&ccedil;&atilde;o do 3&ordm; grau da forma ax&sup3; + bx&sup2; + cx + d = 0 , onde a,b,c,d s&atilde;o os coeficientes num&eacute;ricos , e as ra&iacute;zes s&atilde;o x' , x'' , e , x''' : x' + x'' + x''' = - b/a soma das ra&iacute;zes x'.x'' + x'.x''' + x''.x''' = c/a produto alternado das raizes x'.x''.x''' = - d/a produto das ra&iacute;zes Na equa&ccedil;&atilde;o que voc&ecirc; falou x&sup3;+6x&sup2;+kx-10=0 O primeiro passo &eacute; identificar o --> a=1, b=+6 ,c=k , d=-10 O segundo passo &eacute; montar as equa&ccedil;&otilde;es de girard para a equa&ccedil;&atilde;o usando o a,b,c e as formulas acima. soma = x'+x''+x''' = - b/a = -(6)/1 = -6 produto alternado x'.x'' + x'.x''' + x''.x''' = c/a=k/1=k Produto= x'.x''.x''' = - d/a = -(- 10)/1 = 10 Por&eacute;m isso pouco ajuda pois ainda &eacute; preciso tirar mais uma informa&ccedil;&atilde;o do enunciado: Por exemplo se uma P.A &eacute; composta pelos numeros 50,100,150 ela pode ser escrita nesta outra forma que &eacute; exatamente igual 100-50,100 e 100+50 .O 50 &eacute; a raz&atilde;o da P.A e 100 o termo do meio.Logo no caso do polinomio as ra&iacute;zes formam uma progress&atilde;o aritm&eacute;tica.Logo as ra&iacute;zes s&atilde;o: x - r , x , x+r , onde (r) &eacute; a raz&atilde;o da PA . Agora vamos pegar a equa&ccedil;&atilde;o de girard da soma soma = x'+x''+x''' = - b/a = -(6)/1 = -6 e substituir essa inform&ccedil;&atilde;o x'= x - r ,x''= x , x'''=x+r logo (x-r) + x + (x+r) =- 6 ent&atilde;o 3x=-6 x=-2 Se x=-2 &eacute; raiz da equa&ccedil;&atilde;o ent&atilde;o f(-2)=0, substituindo x=-2 na equa&ccedil;&atilde;o de terceiro grau temos 2&sup3; + 6.(-2)&sup2; + k.(-2) - 10 = 0 -8 + 6.4 - 2k - 10 = 0 -8 + 24 - 2k - 10 = 0 2k = - 8 + 24 - 10 = 6 k = 6/2 = 3 Logo para k=3 as raizes do polinominio da quest&atilde;o estar&atilde;o em P.A.

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