Bom dia Luiz José.
Vamos responder esta pergunta complicada que está a dias aqui no PROFES.
Finalmente tive tempo para pensar nesta resolução!
Sei que o exercício é de Cálculo, mas primeiramente farei por GEOMETRIA que é bem mais fácil, depois apresenta a resolução por conceitos de Cálculo.
Vamos lá, o primeiro detalhe seria fazer o gráfico que representa a situação para compreendermos melhor o problema. O gráfico apresentado já está com a resolução do problema, mas comentarei toda a construção e os porquês.
Vide a imagem da situação-problema, clique em
http://s15.postimg.org/lyixk9ciz/minimo.jpg
A curva verde é a referida ELIPSE;
A reta vermelha é referente a função x + y = 4 => y = 4 - x;
A reta azul é perpendicular a reta vermelha e é da forma y = x - 0,899.
Vamos a construção/resolução:
Primeiro fiz ambas as curvas (Elipse e reta vermelha).
Sobre a ELIPSE
A equação canônica da Elipse é dada por
x²/a² + y²/b² = 1
Como a elipse apresenta não está da forma canônica, vamos deixá-la, apenas para descobrir os valores de a² e b².
x² + 2y² = 6 (dividindo ambos os lados por 6, temos)
x²/6 + y²/3 = 1
Logo a² = 6 e b² = 3
Portanto x varia de -raiz(6) até raiz(6) e y varia de -raiz(3) até raiz(3).
Sobre a RETA
x + y = 4 => y = 4 - x
Portanto, se x = 0 => y = 4 => A = (0, 4)
se x = 4 => y = 0 => B = (4, 0)
Traçamos a reta considerando limitada aos pontos A e B.
O PROBLEMA:
O exercício pede os pontos P e Q que minimizem a distância, ou seja, nada mais do que a projeção de um ponto P pertencente a y = 4 - x na elipse dada, onde P é o ponto mais próximo da curva. Em palavras mais claras, teremos que distância será menor quando tivermos uma reta perpendicular à ambas as curvas (reta e elipse) dado que o ponto P é o mais próximo da elipse.
Nossa reta azul, portanto vamos construí-la.
Temos que as retas r e s são perperdiculares, então
mr.ms = -1, onde m é o coeficiente angular de cada reta.
Pela equação de f(x) temos que m = -1
(O coeficiente angular de uma reta é o número que acompanha o x)
Logo
m.ms = -1 => -1.ms = -1 => ms = 1.
Isso significa que a reta azul e da forma
y = x - c, c > 0 (Guarde esta informação!)
CATALOGANDO OS PONTOS (INICIALMENTE)
A = (0, 4)
B = (4, 0)
C = (c, 0)
D = (raiz(6), 0)
E = (0, -c)
P = (xp, yp)
Q = (xq, yq)
Primeiro traçamos um segmento de reta, perpendicular ao eixo X, passando por D até a reta vermelha e marque o ponto.
Observação importante:
Este ponto ainda não é P, precisamos de mais argumentos para concluir que este ponto é o mais próximo da Elipse. Portanto, o ponto marcado como P, por enquanto é 'sem nome'.
Note que
BD = 4 - raiz(6) (aproximadamente)= 1,5505.
Agora vamos construir
DC = raiz(6) - 1,5505 (aproximadamente)= 0,899
Logo C = (0.899, 0) e E = (0, -0.899).
Agora vamos avaliar o que fizemos:
Temos que BD = CD e "P"D (ainda não é P) é um lado comum nos TRIÂNGULOS RETÂNGULOS PBD e PCD, logo PB = PC.
Correto?
Temos que PB tem coeficiente angular igual a -1, pois pertence a reta y = 4 - x.
O detalhe é que coeficiente angular igual a 1 (ou -1), implica que o ângulo com o eixo X é de 45º, pois SENO = COSSENO.
Desta maneira, PC tem coeficiente angular igual a 1 e também tem ângulo de 45º com o eixo X.
Logo o ângulo CPB mede 90º (180º - 45° + 45°)
Desta maneira, as retas y = 4 - x e y = x - 0,899 (x - c: Informação que guardamos!) são perpendiculares.
Isto significa que o ponto P (agora sim) é o ponto mais próximo da Elipse.
Resultados obtidos:
Temos a caracterização da reta perpendicular que determina a distância, portanto podemos obter P e Q facilmente.
A RETA AZUL é dada por
y = x - 0.899
DETERMINANDO P
O ponto P é o ponto de interseção das duas retas, logo
(1) y = 4 - x
(2) y = x - 0,899
Somando (1) e (2), temos
2y = 3,101
y = 3,101/2
y = 1,5505
Por (1), temos que
x = 4 - y (Trocando ambos os termos de lado)
x = 4 - 1,5505 => x = 2,4495
Portanto P = (2.4495, 1.5505)
DETERMINANDO Q
O ponto Q é o ponto de interseção entre a elipse e a reta azul, logo
Por (2) x = y + 0,899 (3)
A equação da elipse é
(4) x² + 2y² = 6
Substituindo (3) em (4) temos
(y + 0,899)² + 2y² = 6 (Abrindo o quadrado, temos)
y² + 1,798y + 0,8082 + 2y² = 6
3y² +1,798y - 6 = 0
Resolvendo a equação do 2º grau, pela fórmula de Bhaskara, temos
y = 1,05 (Note que precisamos encontrar só o valor para a raiz positiva, pois y < 0 para a raiz negativa, e, por construção, temos que y > 0)
Voltando em (3)
x = 1,05 + 0,899
x = 1,949
Portanto Q = (1.949, 1.05)
Note que o computador arredondou todos os valores para DUAS casa decimais, até tinha opção de aumentar a precisão, mas não achei necessário, dado que o mais usual são DUAS casas.
O exercício não pergunta, mas a menor distância é de 0,71 u.m..
Beleza, professor. Você resolveu usando GEOMETRIA e o exercício é de Cálculo. Gostaria de saber como que eu faço usando Cálculo e minimização?
Para resolver usando os conceitos de Cálculo é o seguinte:
O princípio é igual até a seguinte conclusão:
Temos que minimizar a distância entre dois pontos P e Q, onde P é a interseção de duas retas perpendiculares e Q entre uma reta e a elipse.
Note que temos que inverter o raciocínio no seguinte sentido.
Os pontos P e Q pertencem a reta y = x - c e um deles, eventualmente está na elipse e outro na reta.
Temos, ainda de GEOMETRIA, que a distância entre dois pontos P e Q é dada por
d² = (xp - xq)² + (yp - yq)²
d = raiz( (xp - xq)² + (yp - yq)²)
No entanto, minimizar d é igual a minimizar d², pois a derivada tanto de d² quanto de d em relação a y é igual a ZERO, como d² é uma expressão mais fácil de derivar é melhor usá-la.
Achando os valores de (xp, yp) em função de c, desconhecido
Como yp é a o valor de y para a interseção das retas, temos
yp = 4 - y = y + c => yp = 2 - c/2
Consequentemente
xp = 2 + c/2
Logo P = (2 + c/2, 2 - c/2) => (Guardar esta informação)
Note que não sabemos o bendito c. Para achar a forma mais fácil é a construção geométrica que fiz.
Depois de encontrar c, conseguimos achar os valores de xp e yp.
Temos que fazer o seguinte:
Como xq é o valor de x para interseção entre a reta e a elipse então
xq² + 2yq² = 6
xq² = 6 - 2yq²
x= raiz(6 - 2yq²)
e
yq = yq
Por fim, minimizar a distância da seguinte expressão
d²= (2+ c/2 - raiz(6 - 2yq²))² + (2 - c/2 - yq)²
Note que conhecemos o valor de c agora, então a expressão só tem uma incógnita, yq.
d² = (2,4495 - raiz(6 - 2yq²))² + (1,5505 - yq)²
Precisamos derivar a expressão e igualar a zero.
Note que temos uma raiz e para derivá-la usa-se a Regra da Cadeia.
As constantes sumirão e terminar o exercício não será tão complicado.
Se você realmente precisar da resolução por Cálculo e não conseguir terminar o desenvolvimento, me avise que eu termino o exercício.
Sinceramente acho desnecessário resolver questões desta usando Cálculo.
Tem tantos exercícios de maximizar e minimizar função que são realmente plausíveis e "geniais", agora este acho que perde toda beleza, já que Geometricamente, na minha opinião, a resolução é mais bonita.
Espero ter ajudado e bons estudos.
