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Primeiro, vamos determinar os vetores correspondentes aos pontos dados:
- Vetor PQ: Q - P = (0, 4, 1) - (3, 0, 1) = (-3, 4, 0)
- Vetor PM: M - P = (1, 1, 2) - (3, 0, 1) = (-2, 1, 1)
- Vetor QM: M - Q = (1, 1, 2) - (0, 4, 1) = (1, -3, 1)
a) O versor (ou vetor unitário) do vetor -3PM é o vetor -3PM dividido pelo seu comprimento. Primeiro, precisamos calcular -3PM: -3 * (-2, 1, 1) = (6, -3, -3). O comprimento (ou norma) deste vetor é sqrt(6^2 + (-3)^2 + (-3)^2) = sqrt(54). Portanto, o versor de -3PM é (6/sqrt(54), -3/sqrt(54), -3/sqrt(54)).
b) O produto escalar de dois vetores A = (a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3) é definido como A.B = a1*b1 + a2*b2 + a3*b3. Então, QM.QP = (-3)*1 + 4*(-3) + 0*1 = -15.
c) O produto vetorial de dois vetores A = (a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3) é definido como A?B = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1). Então, PQ ? PM = (0*1 - 1*1, 1*(-2) - (-3)*(-2), -3*1 - 4*(-2)) = (-1, -2, -5).
d) A projeção ortogonal do vetor A sobre o vetor B é dada pela fórmula (A.B)/|B|^2 * B. Então, primeiro calculamos o produto escalar QP.PM = (-3)*(-2) + 4*1 + 0*1 = 10 e o quadrado do comprimento do vetor PM = (-2)^2 + 1^2 + 1^2 = 6. Então, a projeção ortogonal de QP sobre PM é (10/6) * PM = (5/3, 5/6, 5/6).
